Grenzwert / Teleskop- Reihen


0
Der Grenzwert von 1/n bei n gegen unendlich muss doch 0 sein oder ? Kommt nan nicht 0-0=0 raus ?

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
e
anonym,
Student, Punkte: 10
 

Und noch eine Frage .... Wenn ich bei dem quotienten oder wurzelkriterium den Fall : Grenzwert echt <1 habe dann weiss ich meine Reihe konvergiert . Aber man weiß ja nicht wohin die Konvergiert . Wäre das nicht interresant bzw. Wie macht man weiter ?.
Vielen Dank schonmal :)
  -   anonym, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

"Der Grenzwert von 1/n bei n gegen unendlich muss doch 0 sein oder ?"

Stimmt, ja.

Für Teleskopreihen mit "offener" oberer Grenze (also Unendlich), falls \(a_n \to 0\) erfüllt ist, gilt: 

$$\displaystyle\sum\limits_{n=k}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_k$$

bzw. hier:

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_1$$

\(a_n\) lautet hier \(-\dfrac{1}{n}\), ferner ist \(a_n \to 0\) erfüllt.
\(a_{n+1}\) ist \(-\dfrac{1}{n+1}\) (so wurde die Funktion auch aufgeteilt).

Also lautet der Grenzwert \(a_k=a_1=-\left (-\dfrac{1}{1}\right) = -(-1) = 1\).

 

I.Ü. gilt \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+k)} =\dfrac{H_k}{k}\) für \(k\in\mathbb{N}\), wobei \(H_k\) die k-te Harmonische Zahl darstellt.

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden