Normalverteilung


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Moin Leute, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter...

Nehmen Sie an, eine Fußballmannschaft kommt in jedem Spiel zu n=15 Torschüssen, von
denen jeder mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 zu einem Tor führt.

a) Was ist die erwartete Zahl der Tore der Mannschaft in einem Spiel? Wie ist die Standardabweichung?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt die Mannschaft mehr als 3 Tore in einem Spiel?

 

Aufgabenteil a) konnte ich lösen. Die Zahl der Tore habe ich mit n·p berechnet. Also 15·0,2=3

Die Standartabweichung habe ich folgendermaßen berechnet: 15·0,2·(1-0,2)=2,4 => sigma = 1,5492

 

Bei Aufgabe b) weiß ich, dass P(X>3) sein muss. Nach umstellen komme ich auf 1-P(Z<(3-3)/1,5492) und das kann ja irgendwie nich stimmen...

 

Kann mir da jemand weiter helfen?

Vielen Dank im voraus

 

 

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
w
wambo,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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"sigma = 1,5492"

Ist schon mal ein gutes Indiz dafür, dass man die Binomialverteilung besser nicht durch die Normalverteilung approximieren sollte, und wenn nur mit Stetigkeitskorrektur.

Sei \(X\) die Anzahl der geschossenen Tore, ferner gilt \(X \sim B(15,0.2)\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Tore geschossen werden, beträgt demnach

\(P(X > 3) = 1-P(X\leq 2) =1- \displaystyle\sum\limits_{i=0}^2 \displaystyle\binom{15}{i}\cdot 0.2^i\cdot 0.8^{15-i}=1- F(2;15,0.2) \approx 25.2\%\).

Gilt nun \(X \stackrel{a}{\sim}\mathcal{N}(3,2.4)\), so erhält man 

\(P(X > 3) = 1- P(X\leq 3) = 1- \Phi \left(\dfrac{3-3}{\sqrt{2.4}}\right) = 1-\Phi(0) = 50\%\)

bzw. \(1-P(X\leq 3+0.5) = 1-\Phi \left(\dfrac{3+0.5-3}{\sqrt{2.4}}\right)  \approx 37.3\%\).

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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