Vektor Orthogonal und in der Ebene


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Hey,

ich habe die beiden Vektoren a = (1 / 2 / 3) und b = ( -2 / 3 / 1) gegeben. 

Die Frage ist nun einen weiteren Vektor c zu finden der orthogonal zu Vektor a ist und in der Ebene liegt die Vektor a und b aufspannen. 

Um herauszufinden ob Vektor a und c orthogonal sind müsste das Skalarprododukt = 0 sein. Um herauszufinden, ob alle 3 in einer Ebene liegen müsste die Determinante der 3 Vektoren Null sein. 

 

Ich weiß nun allerdings nicht so richtig wie ich einen Vektor finden soll der beides erfüllt...

 

Vielen Dank im Voraus!

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
b
biene0598,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

es gibt verschiedene Wege einen senkrechten Vektor zu berechnen. 

Skalarprodukt:

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \Rightarrow c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 0 \)

\( \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \Rightarrow -2c_1 + 3c_2 + 1c_3 = 0 \)

Nun kannst du dieses LGS lösen und erhälst eine Lösung die von einem Parameter abhängt. Für jeden Wert den du in den Parameter einsetzt, erhälst du einen Vektor der senkrecht auf a und b steht.

Determinante:

\( \left| \begin{matrix} 1 & -2 & c_1 \\ 2 & 3 & c_2 \\ 3 & 1 & c_3 \end{matrix} \right| \neq 0 \)

Du kannst jetzt die Determinante berechnen. Werte für \( c_1 \) und \( c_2 \) einsetzen und gucken für welchen Wert \( c_3 \) die Determinante ungleich Null wird.

Vektorprodukt:

Ich weiß nicht ob ihr das behandelt habt, aber das ist mit Abstand der einfachste Weg. Das Vektorprodukt (oder Kreuprodukt) wird aus dem Skalarprodukt hergeleitet und zwar wenn man genau das macht was ich oben unter Skalarprodukt beschrieben habe ganz allgemein ausrechnet. 

\( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix} \)

Der Vektor der berechnet wird, liegt automatisch senkrecht auf den beiden anderen Vektoren \( a \) und \( b \)

Wichtig für das Vektorprodukt: Es gilt nur im \( \mathbb{R}^3 \), also im 3-dimensionalen Raum. 

Wenn bei der Berechnung noch Fragen aufkommen, melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hey,

danke schon Mal!

Das Problem ist aber, dass der Vektor c ja nur zu a orthogonal sein soll, aber IN der Ebene ligenen soll die a und b aufspannen.

Das würde ja heißen mein Skalarprodukt von a und c müsste null sein, die Determinante von a b und c müsste ebenfalls Null sein da sie ja linear abhängig sind wenn sie in einer Ebene liegen...



Deswegen bringt mich ja vor allem das Kreuzprodukt nicht weiter, da der Vektor so zwar orthogonal ist zu beiden, jedoch nicht in der Ebene der beiden liegt.



Liebe Grüße
  -   biene0598, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ouh ja das stimmt da habe ich mich verlesen. Das tut mir Leid.

Dann stellst du zuerst das Skalarprodukt von \( \vec{a} \) und \( \vec{c} \) auf.

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)

Nun bildest du aus den beiden Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) eine Ebene (am besten in Koordinatenform) und setzt den Vektor \( \vec{c} \) ein.
Dadurch erhälst du wieder zwei Gleichungen und kannst diese in Abhängigkeit eines Parameters lösen.
Für jeden Wert des Parameters erhälst du dann einen Vektor der senkrecht zu \( \vec{a} \) ist und in der Ebene von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) liegt.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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