Winkelhalbierende von Nebenwinkel sind orthogonal


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Mir ist anschaulich folgender Sachverhalt klar, wenn ich mir die Skizze anschaue.

 

 

Da sich ein Winkel und sein Nebenwinkel zu einem gestreckten Winkel ergänzen, begrenzen die Winkelhalbierenden eines Winkels und seines Nebenwinkels das Winkelfeld eines rechten Winkels und sind orthogonal.

 

Meine Frage: Was ist unmittelbar anschaulich evident?

Was ist beweispflichtig?

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
s
starwick,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20
 
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3 Antworten
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Also für ein Mathematikstudium zum Beispiel reicht eine Skizze in der Regel nie aus, auch wenn der Sachverhalt klar scheint. Weiß ja nicht wofür du die Aufgabe machst ;)

Aber ein "korrekter" Beweis ist an dieser Stelle sehr simpel:

Wir haben:

\( \alpha \) und \( \beta \) sind Nebenwinkel, also

\( \alpha + \beta = 180 ^\circ \)

Wir suchen den Winkel, den die beiden Winkelhalbierenden einschließen, also halbieren wir Beide und summieren dann, da sie ja unmittelbar nebeneinander liegen:

\( 0.5 \alpha + 0.5 \beta = 0.5( \alpha + \beta) = 0.5 \cdot 180^\circ = 90^\circ \)

Also senkrecht :)

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
jojoliese,
Student, Punkte: 817
 
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Vielen Dank, das ist unmittelbar einsichtig (evident). Das hatte ich auch.

Aber ich habe nur die Euklidischen Axiome und außerdem nichts anderes. Es ist mir klar daß ich das mit analytischen Mitteln beweisen kann.

 

Was mir fehlt ist die Brücke zu den Axiomen, wie sie von D. Hilbert in den Grundlagen der Geometrie (1899) aufgestellt wurden.

 

Inzidenzaxiome

Parallelenaxiom

Anordnungsaxiome

Teilungsaxiome

Bewegungsaxiome

Stetigkeitsaxiome

 

Wie komme ich zu Nebenwinkel, Gestreckter Winkel, Rechter Winkel?

Meine Voraussetzung stecken in den Axiomen der euklidischen Geometrie.

Vielen Dank im Voraus.

 

Ist Aufgabe im Mathezirkel "Axiomatik der Geometrie"

Wir lernen und üben, was ist Anschauung, was muß bewiesen werden.

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
s
starwick,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20
 

Oh, sorry, dann habe ich deine Frage falsch verstanden. Ich dachte du willst nur wissen ob die Skizze genügt und den Sachverhalt in einem anderen Beweis oder so benutzen.

Dann hab ich jetzt leider keine Zeit mich ausführlicher mit deiner Frage zu beschäftigen, aber habe nah kurzem Googlen unter den Stichworten "axiomatische Beschreibung der euklidischen Geometrie" ein schönes öffentliches Skript der Uni Dortmund gefunden, welches zum Beispiel unter 3.14 Nebenwinkel und rechte Winkel definiert.
  -   jojoliese, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen


Danke für den Tipp.
Werde ich gleich einsteigen.
Nochmals vielen vielen Dank
Das ist ja ganz genau das, was ich suche.
  -   starwick, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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was heißt "nur" die euklidischen Axiome. Wenn du in der euklidischen Ebene bist hast du doch alles:

- Inzidenzaxiome

- Anordnungaxiome

- Kongruenzaxiome

- Vollständigkeitsaxiome

- Parallelenaxiom

dh, du kennst die Kongruenzsätze (SSS, SWS, SWW, SsW), du kennst Winkelarten, Winkelsummensatz. Hier werden dir definitiv die Kongruenzaxiome der Hilbertebene weiter helfen

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
l
 
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