DGL 2. Ordnung inhomogener fall


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Wie löst man die Gleichung (y‘‘+ 2y‘ + y = x^2) mit y(0) = 1 , y‘(0) = 0.

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
A
AdemKokud,
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Hallo,

die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung stellt sich aus der Summe der homogenen Lösung und der partikulären Lösung zusammen. 

\( y(x) = y_{hom}(x) + y_p(x) \)

Du musst also zuerst die homogene Lösung berechnen. 

\( y'' + 2y' +y = 0 \)

Hier bietet sich der Exponentialansatz an. Ist dir klar wie dieser funktioniert? Ist dir klar warum dieser Ansatz sich hier anbietet?

Nun müssen wir noch die partikuläre Lösung bestimmen. 
Diese Lösung kann über Variation der Konstanten oder über spezielle Lösungsansätze bestimmt werden. 

Variation der Konstanten ist hier ein großer Rechenaufwand. Ich denke hier sollt ihr über bestimmte Lösungsansätze die partikuläre Lösung bestimmen. Dafür gibt es Listen wie diese
Kommst du damit klar?

Grüße Christian

 

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 

Vielen dank für die schnelle Antwort!   -   AdemKokud, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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Bestimme erst die homogene Lösung, dann schau dir den partikulären Teil an.

Homogener Teil:

Mit dem charakteristischen Polynom kommst du auf:

\(x^2+2x+1 = 0\)

\((x+1)^2 = 0\)

\(x_{1,2} = -1\)

--> \(y_h = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x}\)

 

Partikulärer Teil

Für den partikulären Teil wähle den Rechte-Seite-Ansatz \(y = ax^2+bx+c\)

Damit \(y' = 2ax + b\) und \(y'' = 2a\).

Einsetzen in die Ursprungsgleichung:

\(2a + 2\cdot(2ax+b) + ax^2+bx+c = x^2\)

Koeffizientenvergleich liefert:

\(a = 1\)

\(b = -4\)

\(c = 6\)

Es ergibt sich also:

\(y = y_{h} + y_p = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + x^2-4x+6\)

 

Die Anfangsbedingungen und damit die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) überlasse ich dir.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
o
orthando, verified
Student, Punkte: 2190
 

Auf den homogenen teil und dessen Lösung bin ich auch gekommen. Wie komm ich dann auf den rechte-Seite Ansatz und dann später auf die Lösung?   -   AdemKokud, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Die Bedingung einsetzen und schlussendlich für \(\displaystyle x = 0\) und dann \(\displaystyle x = 1\) einsetzen und damit dann \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) bestimmen – vgl. Partialbruchzerlegung …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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