Extremwertaufgabe


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Die Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktion f(x)= -{x^2}+9. Die Punkte A(-u|0), B(u|0), C (u|f(u)) und D(-u|f(-u)) mit 0 <= u <= 3 bilden ein Rechteck. (<= soll grösser gleich heissen.) Ich soll jetzt bercehen, für welchwn Wert von u der Flächeninhalt des Rechtecks max. wird. An sich ganz einfach. Ich verstehe aber die Nebenbedingungen die in der Lösung waren nicht. Also Hauptbed. ist ja A(x,y)= x*y Dann sind die Nebenbed. y=f(u)=-{u^2}+9 und x=2u. Ich verstehe nicht, wieso x=2u ist. Den Rest verstehe ich. Danke bereits für die Hilfe! :)

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
F
Fs,
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1 Antwort
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Die Hauptbedingung lautet: \(A(x,y) = x\cdot y\), wobei \(x\) die Breite und \(y\) die Höhe darstellen.

Nutzen wir y als Höhe, so können wir den Funktionswert von \(f\) als Höhe benutzen und man somit \(y=f(u)=-u^2+9\) setzen.

Außerdem hängt diese Funktion von \(u\) ab, weshalb wir \(x=u\) setzen können. Man muss hierbei noch beachten, dass das Rechteck mit seiner Breite nicht bei \(x=0\) "beginnt", sondern die gleiche Breite noch einmal in den zweiten Quadranten geht. Somit muss man die Breite von \(u\) verdoppeln und kommt somit auf \(x=2u\).

Somit lautet die Zielbedingung: \(Z(u) = 2u\cdot (-u^2+9)=18 u - 2 u^3\)

Lokale Extrema dieser Funktion finden sich bei \(u_{1,2}=\pm \sqrt{3}\), wobei der negative Wert aufgrund des Def.bereichs entfällt. Es muss noch geprüft werden, ob für \(u=\sqrt{3}\) ein Maximum existiert. Dies ist der Fall. 

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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