Extremwertproblem


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Hallo! Nachdem man bei der hinreichenden Bedingung die x-Koordinate des Extrempunktes hat, überprüft man ja diese Stell mit der hinreichenden Bedingung. Anschließen wird diese x-Koordinate in die Zielfunktion eingesetzt. Leider habe ich bei der Aufgabe das Problem, dass nur das richtige Ergebnis rauskommt, wenn ich die x-Koordinate in die Nebenbedingung einsetze. Findet jemand meinen Fehler? Aufgabe: Die rechte obere Ecke eines Rechtecks soll auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= -3x+1 liegen und die linke untere Ecke im Ursprung des Koordinatensystems. Die Seiten des Rechtecks liegen auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie die genaue Lage und Größe des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt. Das sind meine Schritte: A(a,b) = a * b —> Hauptbedingung a = x ; b = f(x) = -3x+1 —> Nebenbedingung A(x) = x * (-3x+1) = - {3x^2}+x —> Zielfunktion Definitionsbereich = [0 ; 1/3] A‘(x) = -6x+1 A‘‘(x) = -6 notw. Bed.: A‘(x) = 0 -6x+1 = 0 -6x = -1 x = 1/6 hinr. Bed.: A‘(x) = 0 UND A‘‘(x) ≠ 0 A‘‘(1/6) = -6 < 0, also Hochpunkt (Jetzt muss als Lösung für die y-Koordinate 0,5 rauskommen) Wenn ich in die Zielfunktion {1/6} einsetze, wie es auch sein sollte, kommt folgendes raus: -3*{(1/6)^2}+{1/6} = {1/12} Wenn ich in die Nebenbedingung bzw. in die gegebene Funktion f einsetze, kommt folgendes raus: -3*{1/6)+1 = 0,5 Obwohl man in die Zielfunktion einsetzen muss kommt da ein falsches Ergbenis raus. Nur wenn ich die x-Koordinate in f einsetzw kommt das richtige Ergebnis raus. Wo ist der Fehler? DANKE FÜR ALLE HILFEN !!!👍🏼👍🏼

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
f
fasn,
Punkte: -10
 
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1 Antwort
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"Nachdem man bei der hinreichenden Bedingung die x-Koordinate des Extrempunktes hat, überprüft man ja diese Stell mit der hinreichenden Bedingung."

Dieser Satz macht wenig Sinn.

 

\(A(x) = x \cdot (-3x+1) = -3x^2+x \Rightarrow A'(x) = -6x+1\)

Diese nullgesetzt ergibt \(A'(x) \stackrel{!}{=}0 \Leftrightarrow -6x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6}\).

Eingesetzt in A ergibt den Flächeninhalt! \(A\left (\frac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{12} = 0.08\overline{3}\).

Willst du die y-Koordinate des Punkts auf dem Graphen von \(f\) des Punkts \(\left(\dfrac{1}{6}\bigg\vert y\right)\), so musst du den Wert auch in \(f\) einsetzen.

\(f\left ( \frac{1}{6}\right) = -3\cdot \dfrac{1}{6}+1 = 0.5\)

 

Bild:

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Danke für die schnelle Hilfe! Leider kann ich das nicht lesen, denn deine Antwort steht in diesen mathematischen Codes da und daraus kann ich nichts lesen😭   -   fasn, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Benutzt du die App? Ich habe den Text noch einmal als Bild zu meiner Antwort ergänzt.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Ja, ich benutze die App. Ich habe in einer anderen Aufgabe, wo die Nebenbedingung ähnlich ist, die x-Koordinate in die Zielgunltion eingesetzt und es hat geklappt. Wieso ist das dann bei dieser Aufgabe anders? Bei der anderen Aufgabe sind die Nebebedingungen: x=2u; y=f(u)=-{u^2}+9
Wenn ich da die x-Koordinate einsetze kommt etwas richtiges heraus.
  -   fasn, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

A(x) ist deine Zielfunktion, die auf der Basis von der Hauptbedingung (wahrscheinlich x*y) beruht.
x*y gibt den Flächeninhalt des Rechtecks an. Das y hast du mit einer Nebenbedingung nur geschickt durch einen Term ausgetauscht, der nur von x abhängt. Nichtsdestotrotz gibt die Zielfunktion den Flächeninhalt des Rechtsecks mit der Breite x-0 = x und der Höhe f(x) an.

Wenn ich Wurzel(3) in die Zielfunktion für u einsetze komme ich auf ca. 20.79.
Setze ich Wurzel(3) hingegen in f(x) bzw. f(u) (Die Funktionsgleichung der Parabel) einsetze, so komme ich auf -(Wurzel(3))^2 + 9 = 6.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Ich habe jetzt die Aufgabe dank deiner HIlfe verstanden!! Vielen, vielen dank für diese schnell und gute Hilfe! Ich konnte die Aufgabe jetzt richtig lösen und habe dabei auch alles verstanden! DANKEEE :)   -   fasn, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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