Stetigkeit linearer Funktionen


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Hallo, ich habe Probleme bei folgender Funktion die Stetigkeit zu überprüfen, da man nicht mittels Sprungstelle überprüfen kann. 

f(x)=xln(x)-ax ; xe(1;10)

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
a
akoethen,
Student, Punkte: 20
 

Verwende doch das Folgenkriterium.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

OK. Ich hab Stetigkeit bis jetzt immer über die Sprungstelle kontrolliert, wäre es daher möglich für das Beispiel die Funktion mal mit Rechenweg beispielsweise zu berechnen?   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Hast du schon bewiesen, dass die Komposition stetiger Funktionen wieder stetig ist?   -   jojoliese, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Nein, daher weiß ich auch nicht wie ich die Aufgabe rechnen soll )-:   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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1 Antwort
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Hallo,

wenn ihr noch nichts weiteres zu Stetigkeit gemacht habt, dann musst du wohl auf die Definition zurück greifen. 

\( \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \forall x \in D : \vert x - x_0 \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon \)

Nun gilt \( f(x) = x \ln(x) - ax \). Setzen wir das ein erhalten wir

\( \vert x \ln(x) - ax - (x_0 \ln(x_0) - a x_0) \vert = \vert x \ln(x) - x_0 \ln( x_0) -a(x-x_0) \vert \) 

Jetzt kannst du den linearen Anteil von dem logarithmischen trennen durch die Dreiecksungleichung. Dieser kann dann durch \( \delta \) abgeschätzt werden. Die Schwierigkeit entsteht durch den Logarithmus. 
Für den Logarithmus überlege ich gerade noch nach einer schöneren Abschätzung, aber da wir bereits den linearen Teil abschätzen konnten, müsste hier auch eine Abschätzung durch eine Zahl genügen (dies können wir, da \( x \in (1,10) \)).

Versuch dich mal ein bisschen an dem Beweis. Wenn Probleme auftretten melde dich nochmal.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Vielen Dank!!!
Könntest du mir, wenn das einfacher gehen soll trotzdem mal die Aufgabe rechnen mit dem Ansatz Komposition stetiger Funktionen.
  -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Hier liegt keine Komposition vor. Eine Komposition wäre zum Beispiel
Mit \( f(x) = \ln(x) , \ g(x) = \sqrt{x} \) ist die Komposition \( f(g(x)) = (f \circ g)(x) = \ln(\sqrt{x}) \)
Eine Komposition von Funktionen ist also eine hintereinanderausführung von Funktionen.

Aber glücklicherweise ist das Produkt und die Summe(Differenz) zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
Wir können also die einzelnen Stetigkeiten überprüfen. Die Linearen Funktionen sind sehr einfach, denn
\( g(x) = x \\ \Rightarrow \vert g(x) - g(x_0) \vert = \vert x - x_0 \vert < \delta = \varepsilon. \)
Wenn wir also \( \delta := \varepsilon \) setzen, können wir damit die Stetigkeit zeigen.
\( h(x) = ax \) läuft ziemlich analog. Man erhält \( \delta := \frac {\varepsilon} {\vert a \vert} \)
Nun zum schwersten Teil. Ich weiß nicht wie ihr den Logarithmus definiert habt, aber man könnte über die Umkehrabbildung argumentieren (\(e^x\)). Man könnte über die Ableitung argumentieren. Aber ich weiß nicht was ihr davon schon habt. Mittels \( \varepsilon - \delta \) Kriterium ist es am schwersten.
\( i(x) = \ln(x) \\ \vert \ln(x) - \ln(x_0) \vert = \vert \ln(\frac x {x_0}) \vert = \vert \ln(\frac {x-x_0} {x_0} +1) \vert \)
Wir nehmen O.B.d.A an, das \( x> x_0 \). Wir können das, da wir im anderen Fall nur \( f(x) \) und \( f(x_0) \) am Anfang vertauschen müssten und durch die Beträge sich nichts ändert.
Da \( x > x_0 \) ist \( \frac {x-x_0} {x_0} +1 > 1 \) und wir können folgende Abschätzung machen.
\( \vert \ln(\frac {x-x_0} {x_0} +1) \vert < \vert (\frac {x-x_0} {x_0} +1) -1 \vert = \vert \frac {x-x_0} {x_0} \vert < \frac {\delta} {\vert x_0 \vert} < \varepsilon \)
Wir erhalten also \( \delta := \varepsilon \cdot x_0 \).
Auch hier ist die Frage ob ihr diese Abschätzung nutzen dürft, aber eine andere ist mir leider nicht eingefallen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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