LGS mit Parameter


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Ich habe meine Mathe 1 Prüfung verhauen unter anderem wegen folgender Aufgabe...

Könnte mir jemand die Teilaufgaben a) c) und d) sowie die geometrische Gestalt erklären bzw. am besten mit Rechenweg lösen, sodass ich es nachvollziehen kann.

 

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
a
akoethen,
Student, Punkte: 20
 

Ich kann deine Schrift nicht entziffern.

Was ist \(\vec{x}\)? Soll die Form \(A \cdot \vec{x}=b\) existieren?
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Ja genau   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Hallo,

es wäre hilfreicher wenn du deinen Lösungsversuch anstatt nur deine Lösung hochladen würdest. Dann können wir hier direkt auf die Probleme eingehen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Am meisten würden mich die Teilaufgaben a) und d) interessieren, wo ich leider gar keinen Ansatz habe.   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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Hallo,

zur a) Wir haben eine \( 4 \times 3-\)Matrix und erhälst eine \( 4 \times 1-\) Matrix (Vektor). Für die Matrixmultiplikation gilt stets

\( (m \times n) \cdot (n \times l) = m \times l \) 

Unsere Lösung übernimmt also die Zeilenanzahl der ersten Matrix und die Spaltenanzahl der zweiten (Vektor x). 
Kommst du drauf wie viele Zeilen \( \vec{x} \) hat?

Zur d) geht es hier um den Rang der erweiterten Koeffizienten Matrix? Ich gehe mal davon aus, da nur in deinem Lösungsvektor ein \( b \) vorkommt. 

Macceroni_Konstante hat es dir ja sehr sauber vorgerechnet. Betrachte nun mal den letzten Schritt in seinem Rechenweg. 
Wenn \( b= 1 \) dann haben wir unten zwei Nullzeilen und somit nur einen Rang von 2. 
Nun setze doch mal beliebige Werte für b ein. Gibt es ein anderes b für das wir Nullzeilen erhalten?
Wenn wir hier keine Nullzeile erhalten, dann bedeutet dass das es keine Lösung gibt. Wir erhalten dann nämlich beispielsweise für \( b=2 \) 

\( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{matrix} \)

Dies ist nicht lösbar, da \( 0 \neq 1 \) und \( 0 \neq -1 \). 

Wenn wir keine Nullzeile haben, erhöht sich zudem der Rang (Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten).

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Also ist die Koordinatenzahl von Vektor x 4x1?   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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\(\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\ -2 & 1 &4 \\ 3&  2& -2\\ 0&  7& 8   \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ -7\\ 12+b\\6-b\end{pmatrix} \\\Leftrightarrow \begin{pmatrix}x & 3y & 2z\\ -2x & y &4z \\ 3x&  2y& -2z\\ 0&  7y& 8z   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ -7\\ 12+b\\6-b\end{pmatrix}\)

Löse ich dieses LGS erhalte ich \(b=1,\; x=\dfrac{10z}{7}+\dfrac{27}{7},\; y=-\dfrac{8z}{7}+\dfrac{5}{7}\).

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vilen Dank, hast du noch den Rechenweg dazu?   -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

\(A \cdot \vec{x}\) sollte denke ich klar sein.

Entweder schreibst du dir die vier Zeilen als vier Gleichungen hin oder als erweiterte Koeffizietenmatrix und löst dann dieses LGS (z.B. mit dem Gaußverfahren).

\(
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 6 \\
-2 & 1 & 4 & -7 \\
3 & 2 & -2 & 12+b \\
0 & 7 & 8 & 6-b \\\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 6 \\
0 & 7 & 8 & 5 \\
3 & 2 & -2 & 12+b \\
0 & 7 & 8 & 6-b \\\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 6 \\
0 & 7 & 8 & 5 \\
0 & -7 & -8 & b-6 \\
0 & 0 & 0 & 6-b \\\end{array}\right)
\\~\\ \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 6 \\
0 & 7 & 8 & 5 \\
0 & 0 & 0 & b-1 \\
3 & 2 & -2 & 12+b\\\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 6 \\
0 & 7 & 8 & 5 \\
0 & 0 & 0 & b-1 \\
0 & 0 & 0 & -b+1\\\end{array}\right)
\)

Aus \(0=b-1\) bzw. \(0=-b+1\) folgt \(b=1\), aus den oberen zwei Gleichungen die allgemeine Lösung für \(x,y,z\).
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Erstmal vielen Dank für den ausführlichen Rechenweg!!!Was hat es denn noch mit der Koordinatenzahl von Vektor x; der geometrischen Gestalt; sowie dem Winkel zur x Achse, wenn y = 3 ist auf sich?Bzw. wie verändert sich der Rang der Matrix, wenn sich der b Wert ändert?
  -   akoethen, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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