Summen: 2 Fragen


1

Hi Leute,

kann mir jemand erklären warum:

\( \displaystyle \sum_{j=k}^{2k} {j} = \sum_{j=1}^{2k} {j} - \sum_{j=1}^{k-1} {j} \)

und warum darauffolgend:
 

\( \displaystyle \frac{2k (2k+1)}{2} - \frac{(k-1) k}{2} \)

 

Hier verstehe ich zwar wie der erste Bruch zustande kommt (arithmetische Summe),
jedoch kann ich mit dem zweiten Bruch gar nichts mehr anfangen.
 
Kann mir das jemand erklären?

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
c
cp-student,
Student, Punkte: 20
 
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2 Antworten
3

Hallo cp-Student,

das mit der Aufteilung der Summe \(\sum_{j=1}^{2k}j\) in die beiden Teilsummen \(\sum_{j=1}^{k-1}j\) und \(\sum_{j=k}^{2k}j\) hat Christian ja schon hervorragend erklärt.

Etwas ausführlicher zum kleinen Gaus:

Nimm erst einmal die Summe \(\sum_{j=1}^{2k}j\). Wie berechnest Du die? Offensichtlich so:

$$1+2+3+\cdots+(2k-1)+2k\tag{1}$$

Gut.

Und jetzt schreibst Du dieselbe Summe, nur mit umgekehrter Reihenfolge ihrer Glieder, direkt darunter und summierst Spaltenweise. Du kommst dann auf folgendes:

\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & (2k-1) & + & 2k & = & \sum\limits _{j=1}^{2k}j\\
2k & + & (2k-1) & + & (2k-2) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 & = & \sum\limits _{j=1}^{2k}j\\
\hline (2k+1) & + & (2k+1) & + & (2k+1) & + & \cdots & + & (2k+1) & + & (2k+1) & = & 2\cdot\sum\limits _{j=1}^{2k}j
\end{array}

 

Unter dem Strich hast Du jetzt \(2k\) mal denselben Summanden, nämlich \(2k+1\). Zusammenaddiert bekommst Du dann das Doppelte der gesuchten Summen. Das heißt, Du hast jetzt:

 

$$2k\cdot (2k+1)=2\cdot\sum\limits _{j=1}^{2k}j \tag{2}$$

 

So.

 

Und jetzt teilst Du beide Seiten durch 2.

 

Dieselbe Überlegung stellst Du jetzt mit der zweiten Summe an. Du Kommst auf:

\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & (k-2) & + & (k-1) & = & \sum\limits _{j=1}^{k-1}j\\
(k-1) & + & (k-2) & + & (k-3) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 & = & \sum\limits _{j=1}^{k-1}j\\
\hline k & + & k & + & k & + & \cdots & + & k & + & k & = & 2\cdot\sum\limits _{j=1}^{k-1}j
\end{array}

Das führt dann zu:

 

$$(k-1)\cdot k=2\cdot\sum\limits _{j=1}^{k-1}j \tag{3}$$

 

Das teilst Du dann auf beiden Seiten durch 2.

 

Bingo.

 

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 

Lieber Jake2042,
das nenne ich mal eine ausführliche Erklärung! Vielen lieben dafür <3
  -   cp-student, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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4

Hallo,

zur ersten Gleichung. 

\( \displaystyle \sum_{j=1}^{2k} j =  1 + 2 + 3 + \ldots + (k-1) + k + (k+1) + \ldots + (2k-1) + 2k \)

Nun nutzen wir das Assoziativgesetz und setzen Klammern

\( \Rightarrow \displaystyle \sum_{j=1}^{2k} j = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + (k-1)) +( k + (k+1) + \ldots + (2k-1) + 2k ) \)

Wir teilen also unsere Summe in zwei Summen auf, einmal von Eins bis \( k-1 \) und die andere von \( k \) bis \( 2k\).

Wie können wir die erste Klammer mit Summenzeichen umschreiben und wie die Zweite? Wenn dir das klar ist kommst du auf die Lösung.

Für den nächsten Schritt schau dir mal den kleinen Gauß an. 

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Vielen lieben Dank für deine Erläuterung! Hatte auch schon mit der Zahlengeraden angefangen aber habe den Gedanken dann leider verworfen :D Hätte ich den mal weiter verfolgt!

Danke dir!
  -   cp-student, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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