Vektorgeometrie Oberstufe: orthogonaler Abstand zwischen Geradenschar und Gerade/Punkt


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Hallo,

in dieser Aufgabe muss ich den (geringsten) Abstand zwischen einer Geradenschar (h) zu einer anderen Gerade (g) in Abhängigkeit vom Parameter angeben. 

Der Parameter befindet sich nur in der 3. Koordinate. Wenn der Parameter (a) gleich 0 ist, liegt die Gerade h orthogonal zu der Geraden g.

Meine Annahme ist, dass der kürzeste Abstand von h und g durch eine Orthogonale immer durch den gleichen Punkt P in g schneidet.

Mein Ansatz wäre, dass ich einen orthogonlen Richtungsvektor zu h und g, in Abhängigkeit von a, bestimme, diesen dann mit dem Ortsvektor P zu einer Gerade (l) erstelle um diese dann mit h gleichzusetzen damit die Länge berechnen kann.

Falls jemand mein Anliegen verstanden hat: Ist mein Ansatz / meine Annahme richtig?, oder hat ihr einen besseren/einfacheren Weg gefunden?

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
l
lkk,
Punkte: 1
 

g: x = (-5|-2|6) + t * (2|1|-2)
h: x = (0|-3|0) + r * (-2|1|a)
  -   lkk, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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"Wenn der Parameter (a) gleich 0 ist, liegt die Gerade h orthogonal zu der Geraden g."

Nein, tut sie nicht. Für \(a=-1.5\) wäre das der Fall. Das impliziert aber nicht, dass sie sich schneiden. 

Optimal wäre ein Schnittpunkt beider Geraden, sodass der Abstand null ist. Auf diesen könnte man prüfen, indem man \(g\) gleich \(h\) setzt und schaut, ob eine Lösung für die drei Paramter existiert.

 

Alternativ (sollte es keinen SP geben) könnte man den Abstand zweier windschiefer Geraden wie folgt berechnen.

Sei H eine Hilfsebene, die parallel zu \(g\) und \(h\) verläuft und außerdem mit \(h\) inzidiert. 
Ist nun \(P\) ein beliebiger Punkt auf \(g\) und \(Q\) ein Punkt auf \(h\), so gilt für den Abstand beider Geraden

$$d(g,h) = \dfrac{|(\vec{p}-\vec{q})\circ \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

 

wobei \(\vec{p},\, \vec{q}\) die jeweiligen Ortsvektoren und \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren darstellen.

 

Durch Einsetzen der Werte erhält man den Term \(\dfrac{|18-7a|}{\sqrt{5 a^2 - 12 a + 36}}\) in Abhängigkeit von \(a\), welche man als Funktion betrachten könnte und von dieser man durch geeignete Methoden das Minimum bestimmen könnte.

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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