Vollständige Induktion


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Hallo,

 

ich muss eine Aussage durch die vollständige Induktion beweisen. Die einzelnen Schritte der vollständigen Induktion kenne ich soweit. Jedoch habe ich das Problem, dass ich die Schritte nicht auf diese Aufgabe übertragen kann. Welchen Ansatz gibt es dort?

 

 

Vielen Dank im Voraus

- Patti

 

gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
p
pattir74,
Punkte: 15
 
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4 Antworten
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Hallo patti!

Wenn \(3^n-3\) eine ohne Rest durch \(6\) teilbare Zahl ist, dann ist das gleichbedeutend damit, dass eine ganze Zahl \(k\in\mathbb{Z}\) existiert, für die \(6k=3^n-3\) ist. D. h. $$\frac{3^n-3}{6}$$ muss eine ganze Zahl sein. Du kannst die zu beweisende Behauptung also wie folgt umschreiben: $$\forall n\in\mathbb{N}:\frac{3^n-3}{6}\in\mathbb{Z}$$ Das beweisen wir nun durch vollständige Induktion.

Die einzelnen Schritte dafür sind:

- Induktionsanfang \(\mathcal{A}(n_0)\) (d. h. die Aussage wird für einen Startwert \(n_0\) geprüft).

Wir setzen als Startwert \(n_0=1\) in $$\frac{3^n-3}{6}$$ ein und prüfen, ob eine ganze Zahl herauskommt. Wenn das der Fall ist, dann ist der Induktionsanfang gezeigt: $$\frac{3^{n_0}-3}{6}=\frac{3^1-3}{6}=\frac{3-3}{6}=\frac{0}{6}=0\checkmark$$ \(0\) ist eine ganze Zahl, d. h. der Induktionsanfang ist gezeigt.

- Induktionsvoraussetzung \(\exists n\in\mathbb{N}:\mathcal{A}(n)\):

Wir setzen hier voraus, dass die zu beweisende Behauptung für eine natürliche Zahl \(n\) gilt. Wir schreiben also die Behauptung noch einmal ab und setzen davor ein \(\exists n\in\mathbb{N}\) (also ein "es existiert ein \(n\) aus den natürlichen Zahlen"): $$\exists n\in\mathbb{N}:\frac{3^n-3}{6}\in\mathbb{Z}$$

- Induktionsbehauptung \(\mathcal{A}(n)\Longrightarrow\mathcal{A}(n+1)\):

Wir folgern nun, dass wenn die Behauptung für ein \(n\) gilt, dass sie dann auch für den Nachfolger von \(n\) (also \(n+1\)) gilt. Wir ersetzen also jedes \(n\) in der Behauptung durch ein \(n+1\). In der Sprache der Mathematik bedeutet das: $$\Longrightarrow\frac{3^{n+1}-3}{6}\in\mathbb{Z}$$

- Induktionsschritt (Beweis der Induktionsbehauptung)

Es ist nun zu zeigen, dass $$\frac{3^{n+1}-3}{6}$$ eine ganze Zahl ist. Wie macht man das? Zunächst einmal kannst du das Potenzgesetz \(a^{n+1}=a^n\cdot a^1\) auf \(3^{n+1}\) anwenden:

\(\frac{3^{n+1}-3}{6}=\frac{3^n\cdot 3-3}{6}\)

Das du einen Beweis durch vollständige Induktion führst, musst du irgendwie die Induktionsannahme verwenden. Es gibt einen cleveren Trick, mit dem du solche Aufgabenstellungen immer so umformen kannst, dass du die Induktionsannahme wiederfindest. Hierfür addierst du \(0\) in Form von \(x-x\). Das kennst du vielleicht schon von der quadratischen Ergänzung aus der Mittelstufe. Doch was ist \(x\)? Nun, \(x\) sollte so gewählt werden, dass du irgendwie die Induktionsannahme in dem Bruch wiederfindest. Das musst du einfach ein paar Mal üben. Hier kommt z. B. \(x=2\cdot 3^n\) heraus. Warum? Nun:

\(=\frac{3^n\cdot 3+\overbrace{2\cdot 3^n-2\cdot 3^n}^{=0}-3}{6}\)

\(=\frac{3^n\cdot 3-2\cdot 3^n+2\cdot 3^n-3}{6}\)

\(=\frac{3^n\cdot 3-2\cdot 3^n-3+2\cdot 3^n}{6}\)

\(=\frac{(3^n-3)+2\cdot 3^n}{6}\)

So, siehst du etwas? Du kannst den Bruch nun wie folgt ausplitten:

\(=\frac{3^n-3}{6}+\frac{2\cdot 3^n}{6}\)

Der erste Bruch ist eine ganze Zahl (Induktionsannahme). Warum ist jetzt aber der zweite Bruch auch eine ganze Zahl? D. h. der Zähler müsste ja durch \(6\) teilbar sein. Das ist er auch! Warum? Nun, der Zähler ist auf jeden Fall schon einmal durch \(2\) teilbar, weil \(2\) als Faktor in dem Produkt \(2\cdot 3^n\) auftaucht. \(3^n\) ist nichts anderes als $$\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot ...\cdot 3}_{n\times}$$ D. h. der Zähler ist auf jeden Fall auch durch \(3\) teilbar. Da der Zähler durch \(2\) und durch \(3\) teilbar ist, ist er auch durch \(2\cdot 3=6\) teilbar. Damit ist also $$\frac{2\cdot 3^n}{6}$$ eine ganze Zahl. Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Deswegen ist $$\frac{3^n-3}{6}+\frac{2\cdot 3^n}{6}$$ eine ganze Zahl und damit auch $$\frac{3^{n+1}-3}{6}=\frac{3^n\cdot 3-3}{6}$$ was zu zeigen war. \(\square\)

Hilft dir das weiter?

Beste Grüße
André

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
andré dalwigk, verified
Student, Punkte: 4206
 

Hallo André,
ja, das hat mir definitiv weiter geholfen :) Ich konnte alles nachvoll ziehen und habe es verstanden! Vielen Dank!!!
  -   pattir74, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Eine Frage habe ich doch noch: Wie bist du von diesem Schritt auf den nächsten gekommen:

\(=3^n⋅3−2⋅3^n−3+2⋅3^n/6
=(3^n−3)+2⋅3^n6\)
  -   pattir74, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

\( 3 \cdot 3^n - 2 \cdot 3^n -3 = (3-2) 3^n -3 = 3^n -3 \), der letzte Summand (\(2 \cdot 3^n\)) wird stehen gelassen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

@pattir74 Wie Christian bereits schrieb ... ich habe hier lediglich \(3\cdot 3^n-2\cdot 3^n=1\cdot 3^n=3^n\) gerechnet. Die Klammern um den daraus entstandenen Ausdruck \((3^n-3)\) habe ich nur wegen der besseren Lesbarkeit gesetzt.   -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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Ich habe es jetzt mal versucht, wie es Daniel in diesem Video erklärt hat: https://www.youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58&t=292s

 

Ich konnte allerdings den letzten Schritt nicht zu Ende machen. Was mache ich hier falsch? Sind die ersten 3 Schritte richtig?

 

 

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
p
pattir74,
Punkte: 15
 

Was hat es mit den langen Summen auf sich, die da jedes mal stehen? Deine Induktionsvoraussetzung und die Induktionsbehauptung haben erstens nichts mit der Behauptung, die du zeigen willst, zu tun und zweitens sind sie einfach falsch.   -   jordan, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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Versuchs mal mit \(3^{n+1} - 3  - 6 + 6\) und dann auf eine Form wie \(6\cdot k'\) zu bringen.

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
g
gardylulz,
Student, Punkte: 210
 


Ok, vielen Dank! Wie bist Du da drauf gekommen? Was ist k' ?
  -   pattir74, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen


Eine Null addieren, also +6-6 oder +3-3 oder a+b - a -b ist ein gängiger Trick, der bei vielen Sachen helfen kann eine gewisse Struktur zu erkennen. Kann auch beim Integrieren nützlich sein. Ähnlich eine 1 zu multiplizieren d.h. 2 * 1/2 oder eben a*1/a.Was k' ist wird im Post unter mir erklärt.
  -   gardylulz, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Ok, danke. Ich habe eine neue Antwort gepostet. Kannst Du dir die bitte nochmal kurz anschauen und mir Feedback geben?   -   pattir74, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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k' ist eine beliebige natürliche Zahl. Wenn ich allerdings 6 mal beliebige natürliche Zahl rechne, ist sie ja definitiv durch 6 teilbar (alleine schon weil 6 als Faktor vorkommt). Beispiel: 12=6*2, hier wäre k'=2

\(3^{n+1}−3−6+6\) ist der Induktionsschritt n→n+1 und -6+6 ist einfach 0 und kann daher problemlos angeheftet werden.

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2185
 

Ok, danke. Ich habe eine neue Antwort gepostet. Kannst Du dir die bitte nochmal kurz anschauen und mir Feedback geben?   -   pattir74, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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