Umformung etwas rätselhaft


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In dem video

https://www.youtube.com/watch?v=S_UJBkfiNNo&t=232s

wäre die allg. Lösung mit lambda = i(PI) :       A e^i(PI)x + B e^-i(PI)x

= C1 sin((PI)x) + C2 cos((PI)x)

beim Einsetzen in die Euler-Beziehung erhalte ich aber nach Zusammenfassen = C1 i sin((PI)x) + C2 cos((PI)x).

Also wie kommt das i vor dem sin weg?. Die Lösung von Daniel ist völlig richtig, kann man auch bei wolframalpha nachschauen. C1*i als neue Konstante zusammenfassen? - dann wäre sie aber nicht mehr reell....

Gruß

Holger

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
h
holgerc,
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3 Antworten
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Hallo,

im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (wie hier) lässt sich mit Hilfe des Exponentialansatzes mit komplexen Lösungen für \( \lambda \) noch eine weitere Darstellung herleiten. Nämlich diese die Daniel genutzt hat.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die allgemeine Form

\( y'' + a_1 y' + a_2 y = 0 \)

Wir erhalten die charakteristische Funktion

\( \lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0 \)

Wenn diese Gleichung nun komplexe Nullstellen hat, so sind diese automatisch zueinander komplex Konjugiert, also

\( \lambda_1 = a+ bi \\ \Rightarrow \lambda_2 = a- bi \)

Wir würden also die Lösungen

\( C_1 e^{(a+bi)x} = C_1 e^{ax} e^{bix} \\ C_1 e^{(a-bi)x} = C_1 e^{ax} e^{-bix}\)

erhalten und somit als allgemeine Lösung

\( y(x) = y_1(x) + y_2(x) = e^{ax} ( C_1 e^{bix} + C_2 e^{-bix} ) \)

Mit Hilfe der Eulerschen Formel \( e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) \) erhalten wir

\( y(x) = e^{ax} [C_1 (\cos(bx) + i \sin(bx) ) + C_2 (\cos(bx) - i \sin(bx) )] \\ = e^{ax} [(C_1 + C_2) \cos(bx) + (C_1 - C_2) i \sin(bx)] \)

Wir setzen die neuen Konstanten \( D =C_1 + C_2 \) und \( E= (C_1 - C_2)i \).

\( \Rightarrow y(x) = e^{ax} (D \cos(bx) + E \sin(bx) ) \)

Man macht das ganze, damit man eine reelle Lösung erhält und somit leichter mit reellen Werten wie beispielsweise den Randbedingungen weiter rechnen kann.

Angewendet auf deine Aufgabe erhalten wir mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms

\( \lambda_{1/2} = \pm \pi i \)

Also gilt \( a = 0 \) und \( b = \pi \). Setzen wir das in unsere allgemeine Lösung ein erhalten wir

\( y(x) = e^{0x} (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) = (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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Hallo Christian,

herzlichen Dank. Ja, das Gute an der Mathematik ist, dass es keine Zweifel geben kann. Es konnte ja nicht sein, dass das i verschwindet.

Ich war immer der Meinung, dass eine Konstante reell sein müsste. Aber gut, die Vorstellung gebe ich damit auf. Trotzdem hätte in dem Video das kurz erklärt werden können.

 

Beste Grüße + Danke für deine Mühe,

Holger

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
h
holgerc,
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Dadurch das wir meistens reelle Randbedingungen haben und das \( i \) mit in die Konstante \( E \) gezogen haben, wird die Konstante auch reell sein.
Hätten wir das \( i \) nicht mit in die Konstante gezogen, würde wir für die Konstane \( \tilde{E} = \frac E i \) eine komplexe Lösungs erhalten und durch Multiplikation mit \( i \) würden wir dann eine reelle Lösung erhalten.
Man will sich hier also im Grunde Schreibarbeit sparen :)

Sehr gerne. Wenn die Frage für dich geklärt ist, schließe sie bitte indem du links bei einer Antwort auf das Häckchen klickst.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Das ist zwar verständlich, halte es jedoch von der Notation her nicht für ganz korrekt, da für eine allgemeine Lösung ja gar nicht bekannt ist, ob die Randbedingungen reell sein werden. Darüber hinaus besteht die Gefahr, dass ich später vergessen könnte, dass E komplex ist. Aber ich habe auch hier gesehen,

https://deacademic.com/dic.nsf/dewiki/928966

dass eine Konstante auch eine komplexe Zahl sein kann.

Auch in Lehrbüchern habe ich diese Lösung z. B. (y = A cos(kx) + B sin(kx)) gesehen, finde es aber trotzdem nicht gut. Man muss ja immer bedenken, es ist y= A cos(kx) + i B' sin(kx). Nur weil einer damit angefangen hat, müssen nicht alle das nachmachen.

Nochmals danke!

Beste Grüße,

Holger

 

 

 

 

 

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
h
holgerc,
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Da gebe ich dir Recht. Allerdings muss \( E \) eben nicht zwangsläufig reell aber auch nicht zwangsläufig komplex sein.
Nur wenn wir ein reelles Problem haben, wie es bei DGLs sehr häufig ist, da DGLs eins der wichtigsten Werkzeuge sind um die Realität mathematisch zu beschreiben.
Wenn wir jetzt nicht unbedingt beispielsweise in der Elektortechnik uns Wechselstromkreisläufe angucken (dort sind die Imaginärenteile zu vergleichen mit Innenwiderständen) haben wir deshalb sehr häufig reelle Probleme.
Aber du hast wie gesagt absolut recht. Es ist reine Notation. Die Lösung
\( y(x) = C_1 e^{i \pi x} + C_2 e^{-i \pi x } \)
wäre selbstverständlich genau so richtig gewesen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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