Ansatz gesucht


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Hallo noch einmal,

ich habe eine Übungsaufgabe, und ich finde keinen Ansatz. Sie lautet wie folgt:

Ich bin bisher der Meinung, das ich ein LGS aufstellen muss; allerdings erhalte ich dabei 3 Gleichungen mit 4 unbekannten.

\( 4x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=20 \)
\( 8x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+6x_{4}=41 \)
\( 4x_{1}+1x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=17 \)

Frage: Ist der Ansatz korrekt und ich muss einem unbestimmten LGS klarkommen, oder ist mein Ansatz falsch?

Der Zusatz unter der Aufgabe "(als Lösung nicht-negative ganze Zahlen)" lässt mich an meinem Ansatz zweifeln, da ich mit diesem LGS doch auf keine negativen Zahlen komme.

Danke für alle Antworten und Denkanstöße!
(Sobald mir klar ist wie die Aufgabe zu lösen ist werde ich die Rechnung für folgende Fragesteller posten und die Tags anpassen)

 

gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
r
röhn,
Student, Punkte: 30
 

"Der Zusatz unter der Aufgabe "(als Lösung nicht-negative ganze Zahlen)" lässt mich an meinem Ansatz zweifeln, da ich mit diesem LGS doch auf keine negativen Zahlen komme."

Was bedeutet denn "nicht-negativ"?
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Nicht-negativ heißt positive Zahlen inklusive der Null.
  -   röhn, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Oder die Null, ja.

Also musst du dir keine Sorgen machen, dass du auf keine negativen Zahlen kommst, da diese exkludiert werden.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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2 Antworten
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Erstmal wäre es gut zu wissen, wie weit du schon im Stoff bist.

Der Ansatz ist schon richtig. Du musst ein unterbestimmtes Gleichungssystem lösen.

Das sollte aber kein Problem sein, wenn du Schritt für Schritt vorgehst. Ich empfehle dir, das Gauß-Verfahren zu nutzen. Löse zunächst das (bereist richtig) aufgestellte LGS so weit wie möglich. Du solltest drei Gleichungen mit vier Unbekannten erhalten. Nun brauchst du eine Hilfsvariable (z.B. t), die ich für x4 einsetzten würde. In Abhängigkeit davon bestimmst du nun die Lösungen für x1, x2 und x3. Du brauchst hier auch drei verschiedene Gleichungen. Dann hast du alle möglichen Lösungen des LGS. Dich interessieren aber nur die Lösungen, bei der alle Zahlen natürliche Zahlen sind (vgl. Aufgabenstellung). Also setzt du t=0,1,2... und so weiter bis dieser Fall eintritt und alle Lösungen positive ganze Zahlen sind.

 

Bei Bedarf kann ich gerne die Lösungsmatrix des LGS angeben, wenn du noch Hilfe brauchen solltest.

Zur Konrolle für dich sollte die gesuchte Lösung für dein aufgestelltes LGS sein:

x1=3, x2=1 x3=0 x4=2

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
vt5, verified
Student, Punkte: 3035
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Spitze, danke ich werde mit deiner Hilfe mal sehen wie weit ich komme!   -   röhn, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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Danke an Nutzer vt5,

ich rechne den Weg einmal vor. Durch die Bedingung, dass die Ergebnisse nichtnegativ und ganzzahlig sein müssen ist das LGS bestimmt. Das zeigt sich gegen Ende. Los gehts:

Unsere Matrix aus dem Startpost mit selber Reihenfolge x1x2x3x4:

4 2 2 3 | 20   Gl I 
8 5 3 6 | 41   Gl II  |II - 2\( \cdot \)III
4 1 2 2 | 17   Gl III |III - I 

4 2 2 3 | 20   Gl I
0 3-1 2 | 7     Gl II
0-1 0-1 |-3    Gl III  |sei \( x_{4}  = t \)

\( x_{4}=t  \) einsetzen in Gl III und nach \( x_{2} \) umstellen, ab jetzt wiedermit Variablen x1x2x3x4 :

\( 0 - x_{2} + 0 -t = -3 <=> \) \( x_{2} = 3 - t \)

\( x_{4} \) und \( x_{2} \) einsetzen in Gl II und nach \( x_{3} \) umstellen:

\( 0 + 9 - 3t - x_{3} + 2t = 7 <=> \) \(x_{3} = 2 - t \)

\( x_{4} \), \( x_{2} \) und \( x_{3} \) einsetzen in Gl I und nach \( x_{1} \) umstellen:

\( 4x_{1}  + 6 - 2t + 4 - 2t + 3t = 20 <=> \) \( x_{1} = \frac {5} {2} + \frac {t} {4} \)

Wir erinnern uns an die Bedingungen, nichtnegativ und ganzzahlig. Also versuchen wir \( x_{1} =\frac {5} {2} + \frac {t} {4} \) durch "rumprobieren" mit Werten für t auf eine ganze Zahl von 0 oder größer Null zu bringen.

\( t=0 : x_{1} = \frac {5} {2} + \frac {0} {4} = \frac {5} {2} + 0 \) Niete!
\( t=1 : x_{1} = \frac {5} {2} + \frac {1} {4} = \frac {11} {4} \)     Niete!
\( t=2 : x_{1} = \frac {5} {2} + \frac {2} {4} = 3 \)    Treffer!
Mann kann t weiterlaufen lassen, doch es fällt auf, dass für \( t>2 \)   \( x_{3} = 2 - t  \) negativ wird, wodurch die gestellten Bedingungen nicht mehr erfüllt wären.

Nun folgt ein letztes mal einsetzen von \( t=2 \) in  \( x_{1} \),  \( x_{2} \), \( x_{3} \) und  \( x_{4} \):

\( x_{1} = \frac {5} {2} + \frac {2} {4} = 3 \) 
\( x_{2} = 3 - 2 = 1\) 
\( x_{3} = 2 - 2 = 0\) 
\( x_{4} = 2\) 

\( L_{x_{1}} = {3} \); \( L_{x_{2}} = {1} \); \( L_{x_{3}}= {0} \); \( L_{x_{1}} = {2} \)

Zusätzlich zu dem von vt5 empfohlenen Video hat mir auch das unten vorgeschlagene Video geholfen.

gl hf

 

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
r
röhn,
Student, Punkte: 30
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Zur ersten Kombination aus 16 Seitenwänden, 34 Regalböden und 13 Türen erhalte ich keine zulässige Lösung. Für \( x_{4}=t \) erhalte ich für \( x_{3}=1-t \), für \( x_{2}=3-t \) und für \( x_{1}=2+ \frac {t} {4} \)
  -   röhn, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Das ist nicht richtig, setzte doch einfach t=0 und du hast ein gültiges Ergebnis.
x1=2, x2=3 x3=1 x4=0
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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