Analysis, Funktionen analysieren, Nullstellen, Extrema ???


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Kann mir irgendwer helfen? Ich komme bei diesen aufgaben einfach nicht weiter. Wie man sieht, habe ich schon ein paar Ansätze zur Lösung, jedoch weiß ich nicht wie ich sie umsetzen kann. Auch wenn jemand nur eine Teilaufgabe davon rechnet und mir den lösungsweg schickt wäre ich so unfassbar dankbar! Lg

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
T
ToskanaTeslaTessa,
Schüler, Punkte: 10
 
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5 Antworten
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Hallo,

versuchen wir es mal zusammen. Die Anfänge sehen doch schon gar nicht schlecht aus. 

Bei der 1) liegst du richtig. Es gilt \( f(x) - g(x) = k(x) \).

Bei der 2) hast du auch schon die richtige Idee. Du musst hier die Nullstellen von k(x) berechnen, da dort der Abstand der beiden Ufer Null wird und sich so dort die beiden Ufer treffen. 

Die Aufgabenstellung verrät schon das es drei Nullstellen sind, da von Seen gesprochen wird. 

Ist dir klar wir du hier die Nullstellen berechnen kannst? Benutzt ihr einen Graphiktaschenrechner? Oder müsst ihr hier eine Nullstelle erraten?

Zur 3) Das Schlüsselwort ist hier extremal. Ist dir klar wie du Extrema berechnest? Wenn du die x-Werte der Extrema berechnet hast, musst du sie noch in k(x) einsetzen um die tatsächliche Breite zu erhalten.

zur 4) Der Winkel zwischen einer Gerade \( y= mx + n \) und der x-Achse lässt sich über \( \tan^{-1} (m) \) berechnen. m steht für das Verhältnis \( \frac y x \) (Steigungsdreieck), also das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. 
Wenn wir nun den Winkel zwischen zwei Geraden herausfinden wollen, berechnen wir die Differenz, also

\( \alpha = \vert \tan^{-1}(m_1) - \tan^{-1}(m_2) \vert \)

Nun übertragen wir das auf beliebige Funktionen. Wir legen an beide Graphen genau im Schnittpunkt eine Tangente an. Diese Tangente hat dann die selbe Steigung wie der Graph im Schnittpunkt. Also gilt für beliebige Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \)

\( \alpha = \vert \tan^{-1}(f'(x)) - \tan^{-1}(g'(x)) \vert \)

Zur 5) Dieses mal müssen wir wie du schon richtig schreibst die Tangentengleichung aufstellen. Wie in 4) bereits erwähnt ist die Steigung der Tangente die selbe wie die Steigung des Graphen im Punkt (hier x=2). Wir erhalten also schon mal

\( t_f(x) = f'(2)x + n_1 \\ t_g(x) = g'(2)x + n_2 \)

Jetzt musst du noch die Punkte auf den Graphen von f(x) und g(x) für x=2 bestimmen, also

\( A(2|f(2)) \) und \( B(2|g(2)) \). 

Diese beiden Punkte liegen auf jeweils einer der beiden Tangenten. Wenn du diese einsetzt, kannst du \( n_1 \) und \( n_2 \) bestimmen und die Tangentengleichungen komplett aufstellen.

Versuch dich mal ein bisschen, wenn du nicht weiter kommst oder noch Fragen hast melde dich gerne wieder.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 
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Hallo,

am besten ist immer, wenn man sich das mal aufzeichnet.

Das sollten die beiden Funktionen sein. Wie du siehst schneiden sie sich in drei Punkten. Es gibt also zwei Schnittflächen, also auch zwei Seen.

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
vt5, verified
Student, Punkte: 3440
 

Ich helfe gerne, wenn du noch weitere Fragen hast.   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Dankeschön für deine Hilfe!   -   ToskanaTeslaTessa, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Du hast alles richtig gemacht, wie man sieht. Nun willst du wissen, wo sich ft(x) und gt(x), also die beiden Tangenten schneiden. Das ist im Punkt t der Fall, wie man sieht ist der Punkt (3|0).

 

Rechnerisch bestimmst du das mit Gleichsetzten, also ft(x)=gt(x)

Deine Lösungen waren `0x+0` und `-9x+27` also ergibt sich `0x+0=-9x+27`

Also löst du `0=-9x+27` nach x. Und setzt das in die Gleichungen ein (der y-Wert ist offensichtlich gleich null).

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
vt5, verified
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Dankeschön!!!   -   ToskanaTeslaTessa, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Nocheinmal zu 4): Ich möchte nun zunächst m bei f(x) und g(x) berechnen, um dies dann in
alpha= |tan^-1(m1)-tan^-1(m2) |
einzusetzen. Mir ist aber gerade irgendwie noch nicht hundertprozentig klar, wie ich jetzt vorgehen muss. Zunächst muss man ja die Ableitungen von f(x) und g(x) bilden, was mache ich dann? Was muss ich nun für x einsetzen, um m rauszubekommen?
Danke für eure Hilfe!
  -   ToskanaTeslaTessa, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Lies mal meine Antwort etwas weiter. Die Gleichung mit \( m_1 \) und \( m_2 \) sind für Geraden.
Im nächsten Schritt schreibe ich explizit wie du das ganze für belibige Funktionen berechnen kannst.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Wow! Dankeschön, dass sie sich die Zeit genommen haben und mir so ausführlich geantwortet haben!😍 Ich werde mich später an die Aufgaben ran setzen und mich bei Fragen nochmal melden. Zu den Nullstellen: Wir haben keinen Graphik Taschenrechner. Wir nutzen bei einem normalen die Funktion Polynom Gleichung. Wenn ich mich nicht irre müsste das dort auch funktionieren.

Mit freundlichen Grüßen

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
T
ToskanaTeslaTessa,
Schüler, Punkte: 10
 

Sehr gerne. :)
Alles klar. Dann versuch dich erstmal daran

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche


Hallo!Ich habe jetzt bereits die drei Nulsstellen bei 2) berechnet und die Extrema bei 3), jedoch fällt es mir schwer diese Punkte nun inhaltlich einzuordnen. Ich habe jetzt beispielsweise bei 2) die drei Nullstellen, aber mir ist nicht klar, wie ich daraus jetzt die Breite ablesen kann. Vorallem verwiirt es mich, dass es drei Nullstellen sind. Ich stelle mir die Ufer des Sees einfach als eine geöffnete und geschlossene Parabel vor, die dann zusammen einen kreisförmigen See ergeben, meiner Ansicht nach gibt es doch dann nur zwei Schnittpunkte mit der x-Achse (also links und rechts)? Das erschließt sich mir nicht ganz. Daraus ergiebt sich auch meine Frage zu 4). Dort wird ja auch von mehreren Seen gesprochen, meint man damit einfach den nördlichen und den südlichen? Im weiteren Verlauf der Aufgabe 4) steht dann auch wieder, dass sich die Ufer dieser Seen an drei Stellen kreuzen, wo wir wieder beim gleichen Verständnisproblem vom Anfang wären. Danke für Ihre Hilfe!Viele Grüße
  -   ToskanaTeslaTessa, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Zur Kontrolle. Die Nullstellen liegen bei
\( x_1 = 1 \\ x_2 = 2,6 \\ x_3 = 5 \)

In der Aufgabe ist ein kleiner Hinweis versteckt. Es wird nämlich von Seen gesprochen. Dadurch das wir drei Nullstellen haben, gibt es in der Mitte einen Punkt an denen sich die Ufer treffen, Also teilen wir einen großen See in zwei kleinere Seen.
Guck dir mal das Bild von vt5 an. Dort kannst du die beiden Seen ziemlich gut sehen.
Der erste ist der Zwischenraum von \( x=1 \) bis \( x=2,6 \) und der zweite See der Zwischenraum von \( x=2,6 \) bis \( x=5 \).

Für die Breite in Ost-West Richtung müssen wir nur den x-Wert betrachten. Der erste See ist \( d= 2,6 -1 = 1,6 \)(vermutlich Meter). Wie breit ist der andere?

Ist damit dann der Rest auch klar?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Also ist der zweite See 5-2,6= 2,4 breit. Danke ! Mir war die ganze Zeit nicht klar ob es um einen odere mehrere Seen ging.   -   ToskanaTeslaTessa, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Konntest du jetzt auch die anderen Aufgaben lösen?   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Ich hätte noch ein paar Fragen.

Zu 5): Ich habe nun für f(x) und g(x) die Tangentengleichungen aufgestellt. Mir ist jedoch nicht klar was genau die Gleichungen jetzt bedeuten. Bei f(x) habe ich jetzt als Tangentengleichung y=0x+0 Ist das überhaupt richtig? Mich verwirren die ganzen Nullen ein wenig.... Bei g(x) habe ich als Tangentengleichung y=-9x+27 . Wie genau bestimme ich jetzt mit diesen beiden Gleichungen den Schnittpunkt der Tangenten? 

Mfg 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
T
ToskanaTeslaTessa,
Schüler, Punkte: 10
 

Ich bin dabei, warte kurz.   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Die Tangentengleichungen stimmen.

Die setzt du nun gleich und löst nach x auf.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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