Textaufgabe Quadratische Gleichungen


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hallo Zusammen

wie lässt sich die folgende Fragestellung am einfachsten verständlichsten lösen? 

 

Der Umfang eines Rechtecks beträgt 82cm seine Diagonale 29. wie lange sind die Seiten? 

 

Danke für eure Unterstützung

 

grüsse

emma

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
e
emma1986,
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8 Antworten
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Geometrisch kann man beide Gleichungen

\(I: 2a+2b=82 \Leftrightarrow b=41-a\\
II: \sqrt{a^2+b^2}=29\Leftrightarrow a^2+b^2=841\)

so deuten, dass \(I\) eine Gerade und \(II\) einen Kreis darstellen, wobei \(I\) entweder eine Sekante, Tangente, oder Passante an \(II\) darstellt.

Wäre \(I\) eine Passante, so hätte das Gleichungssystem keine Lösung, sprich es existiert kein Rechteck mit den geforderten Eigenschaften. Wenn es eine Tangente ist, so existiert genau ein Lösungspaar. Daraus muss aber nicht folgen, dass es eine wirkliche Lösung darstellt, da z.B. einer der beiden Seitenlängen negativ ist. Ist die Gerade eine Sekante (wie hier), so existieren zwei Lösungen, wobei die Seitenlängen vertauschbar sind. Aber auch hier müssen sie nicht verwertbar sein.

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
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Im Allgemeinen hast du natürlich recht, im Speziellen ist es aber so, wie ich gesagt habe.   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Hallo,

wir haben hier zwei Bedingungen, aus denen wir zwei Gleichungen basteln können und somit ein Gleichungssystem bekommen, das wir lösen können.

Ein Rechteck, habe die Seiten \( a \) und \( b \).

Für den Umfang eines Rechtecks gilt

\( U = 2a + 2b \)

Für die Diagonale nutzen wir den Satz des Pythagoras und erhalten

\( d^2 = a^2 + b^2 \)

Wir erhalten also das Gleichungssystem

\( 82 = 2a + 2b \Rightarrow 41 = a + b \\ 29^2 = a^2 + b^2 \)

Wir stellen die erste Gleichung nach \( a \) um und setzen sie in die zweite Gleichung ein

\( a = 41 - b \\ \Rightarrow 841 = (41 -b)^2 + b^2 \)

Diese Gleichung kannst du nun nach \( b \) auflösen. Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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Also normalerweise wäre schön, wenn du schon einen Ansatz hättest.

Ich will dir mal das Lösungsmuster geben.

Ein Rechteck hat zwei verschieden lange Seiten a und b. Der Umfang U ist also 2a+2b.

Die Diagonale c berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras aus dem rechtwinkligen Dreieck, wobei gilt a^2+b^2=c^2. Das ergibt jetzt ein Gleichungssystem.

I. 2a+2b=U (der Umfang)

II. a^2+b^2=c^2 (die quadrierte Diagonale)

 

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Zur Lösung solltest du die erste Gleichung nach a auflösen und dann in die zweite Gleichung einsetzten. Die zweite Gleichung löst du nach b. Dann setzt du diese Lösung in die nach a umgestellte Gleichung ein und hast den Wert für a.

Wenn du noch genauere Hilfe brauchst, gerne Rückfragen.

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
vt5, verified
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Ah so perfekt. Danke euch ihr mathe genies 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
e
emma1986,
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Ah so, dass heisst ich brauche zwingend beide Gleichungssysteme bzw. Ich muss beide Gleichungssysteme brauchen um an die Lösing heranzukommen richtig? 

 

Danke euch 🙏🏽

 

Grüsse

emma

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
e
emma1986,
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Ja du musst beide Gleichungen verwerten.   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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1

Und wenn ich jetzt die Gleichung 

841 = (41-b)^2 + b^2 ausrechne bekomme ich ja

 

0= 840 - 82b + 2b^2 

 

muss ich hier nun die mitternachtsformel anwenden und wenn ja dann bekomme ich ja 2 lösungen für b raus oder? 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
e
emma1986,
Student, Punkte: 50
 

Wenn du die Gleichung nicht durch 2 dividierst, kannst du sie, anstelle der pq-Formel anwenden, ja.

Es ist möglich, aber nicht zwingend, dass zwei passende Lösung resultieren.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Also nochmal zur Klarstellung:
Auf diese Gleichung - so wie sie da steht - kannst du NICHT die pq-Formel, aber die abc-Formel anwenden.
Es werden zwei Lösungen herauskommen. Das ist aber nicht schlimm, da die zweite Gleichung (also a=41-b) immer die genau andere Lösung ergibt. Somit sind beide Lösungen die Seitenlängen des Rechtecks.
  -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Hallo emma1986,

bei dieser Aufgabe habe ich etwas getrickst. Die Lösung, die Christian vorschlägt ist mathematisch um einiges besser.

Ich bin von folgenden Überlegungen ausgegangen:

Die Diagonale des Rechtecks teilt dasselbe in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, wobei die Diagonale \(d\) jeweils die Hypotenuse des Dreiecks und die Seiten mit den Längen \(a\) und \(b\) jeweils die Katheten sind.

Jetzt weiß ich folgendes:

\(
\begin{array}{lrcccl}
(1)\qquad & \frac{{\displaystyle U}}{{\displaystyle 2}} & = & a+b & = & 41\\
(2)\qquad & d^{2} & = & a^{2}+b^{2} & = & 841
\end{array}
\)

Gleichung (2) ist einfach der Satz des Pytagoras. Jetzt habe ich mir folgendes überlegt: Die Summanden in Gleichung (2) können von \(a^{2}=0\) und \(b^{2}=841\) bis \(a^{2}=841\) und \(b^{2}=0\) alle möglichen Werte annehmen, solange die Summe 841 beträgt. Wenn ich das in ganzzahligen Schritten in meiner Tabellenkalkulation in zwei Spalten nebeneinanderschreibe, dann kann ich in einer dritten Spalte jeweils \(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}\) ausrechnen und schauen, bei welchen Werten für \(a^{2}\) und für \(b^{2}\) das Ergebnis der dritten Spalte möglichst nahe an 41 heranreicht.

Dann habe ich mit dem Taschenrechner aus beiden Werten die Wurzel gezogen. Die Ergebnisse waren in beiden Fällen sehr nahe an natürlichen Zahlen. Also habe ich die entsprechenden natürlichen Zahlen genommen und überprüft, ob die Gleichungen \(a+b=41\) und \(a^{2}+b^{2}=841\) mit diesen Werten stimmen.

Bingo!

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
jake2042, verified
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Hallo emma1986,

Dein Problem ist ja schon hinreichend beantwortet worden. Dennoch hat es mich dazu gebracht, den foĺgenden Lösungsweg auszuarbeiten. Der ist zwar nicht ganz ernst gemeint, aber er funktioniert.

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9349/die-py-werte-ein-nicht-ganz-ernst-gemeinter-vorschlag/

Du solltest Dir das durchlesen. Ich denke, dass Du einiges, was bei Deiner Frage im Hintergrund mitschwingt, dann besser verstehst.

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
jake2042, verified
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