Sekante, Tangente und Normale


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hallo,

ich verstehe nicht, wie man auf folgende Lösungen kommt, leider stehen im Buch keine Rechewege. 

Bei mir kommt immer etwas mit e oder 0 raus. 

Im Netz kann ich so dazu auch nichts finden. 

Wäre super wenn mir jemand den Rechenweg beschreiben würde. 

Liebe Grüße 

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
j
jen5,
Schüler, Punkte: 10
 
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3 Antworten
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a) macht keinen Sinn. Die Gerade, die durch beide Punkte führt lautet \(y=x\).

b) Die allg. Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) lautet: \(y=t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)\)

Hier also \(f'(1)\cdot (x-1)+f(1) = 3e^2 \cdot (x-1) + e^2 = e^2 (3 x - 2) = 3e^2x-2e^2\)

c) Die Normale steht orthogonal auf der Tangente in diesem Punkt. Dies tut sie, wenn für beide Steigungen gilt: \(m_1=-\dfrac{1}{m_2}\).

Hier hat die Normale die Steigung \(m=-\dfrac{1}{3e^2}\). Die vorläufige Normalengleichung lautet demnach \(n(x)=-\dfrac{1}{3e^2}+a\), durch Einsetzen des Punkts \(P(1|e^2)\) erhält man für a \(-\dfrac{1}{3e^2}+e^2\). Somit lautet \(n(x)=-\dfrac{1}{3e^2}x + e^2-\dfrac{1}{3e^2}\).

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Danke :-)   -   jen5, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Die a) macht so keinen Sinn? Eher so etwas wie: Bilde die Sekante für A(0|f(0)) und B(-1|f(-1)).

In der Tat ist dann A(0|0), aber B(-1|-0,153).

Da eine gerade durchlegen:

\(y = mx + b\), wobei \(b = 0\), wegen A

\(-0,153 = m\cdot(-1)\)

\(m = 0,153\)

\(y = 0,153\cdot x\)

 

b) Um die Tangente an der Stelle x = 1 zu bestimmen, musst du herausfinden, welche Steigung da anliegt. Bilde die Ableitung.

\(f'(x) = x\cdot e^{2x}\cdot2 + e^{2x} = e^{2x} \cdot (2x+1)\)

An der Stelle \(x = 1\) haben wir also die Steigung \(m = f'(1) = e^{2}\cdot3 \approx 22,17\).

Mit \(f(1) \approx 7,39\) kann man dann wieder eine Gerade aufstellen:

\(7,39 = 22,17\cdot1 + b\)

\(b = -14,78\)

\(t(x) = 22,17x - 14,78\)

 

c)

Die Normale steht senkrecht auf t(x), weswegen die Steigung über \(m_1 \cdot m_2 = -1\) gefunden werden kann.

\(7,39 = -1/22,17\cdot1 + b\)

\(b = 7,43 (und m = -1/22,17 = -0,045)\)

--> \(n(x) = -0,045x + 7,43\)

 

Achte bitte darauf, dass normal nur das Endergebnis gerundet wird! Ich habe mich hier nur etwas an deinen Zahlen entlanggehangelt ;).

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
o
orthando, verified
Student, Punkte: 2175
 

Vielen Lieben dank für deine Antwort, b) und c) kann ich gut nachvollziehen. A jedoch erschließt sich mir nicht... wie kommt man auf -0,153 ? Es ist wohl idiotisch aber das mit der Sekante macht keinen Sinn für mich :')   -   jen5, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Als Antwort auf deinen Kommentar

Du setzt einfach die x-Werte in die Funktionsgleichung ein, also um die Punkte (y-Werte), durch die die Sekante geht, zu bestimmen. Punkte sehen so aus:

(x-Wert|y-Wert) bzw. `(x|f(x))`, daher muss es auch (0|f(0)) und (-1|f(-1)) heißen und NICHT was du geschrieben hast!!!

`f(0)=0*e^(2*0)=0*1=0` und `f(-1)=-1*e^(2*-1)=-e^(-2)=-0,135335...`

Du musst also die Sache in einen Taschenrechner eingeben, um den Ausdruck mit e auszurechnen.

Die Punkte durch die die Gerade geht, sind also (0|0) und (-1|-0,135). Die Steigung dieser Gerade ist offensichtlich etwa 0,135 --> also `g(x)=0,135x` (bei dir in der Lösung s(x)) da der y-Achsenabschnitt 0 ist.

Man kann es auch zeichnerisch verstehen.

 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
vt5, verified
Student, Punkte: 3440
 
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