Wie funktioniert das?


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Hey, wie löst man diese Gleichung? Ich verstehe den ersten Schritt, dass man mit den Nennern die 3. binomische Formel anwenden kann, jedoch den Schritt danach kann ich nicht nachvollziehen, wie man aus x^2-16=(x-4)(x+4) die Gleichung x-4+(x+4)x=16x-32 bekommt. Vielen Dank im Voraus.

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
p
philippjaeger,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Du multiplizierst zuerst alle Terme mit dem Hauptnenner:

\(\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{16x-32}{x^2-16} \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x+4}\cdot (x^2-16)+\dfrac{x}{x-4}\cdot (x^2-16)=\dfrac{16x-32}{x^2-16}\cdot (x^2-16)\\
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-16}{x+4} +\dfrac{x\cdot (x^2-16)}{x-4}=16x-32\)

Und nutzt dann die Eigenschaft \(x^2-16=(x+4)(x-4)\), wodurch sich die Brüche wegkürzen:

\(\Leftrightarrow \dfrac{(x+4)(x-4)}{x+4} +\dfrac{x\cdot (x+4)(x-4)}{x-4}=16x-32 \\
\Leftrightarrow (x-4) +x\cdot (x+4)=16x-32\\
\Leftrightarrow (x-4)+x^2+4x=16x-32 \\
\Leftrightarrow x^2 - 11 x + 28 = 0\)

Und dann wurden die Nullstellen mithilfe der pq-Formel berechnet.

 

Das Layout des Buches ist evtl. etwas verwirrend, die erste Gleichungszeile (links von "Multiplikation der Ausgangsgleichung ...") soll nur die Faktorisierung des Hauptnenners verdeutlichen und gehört noch nicht zu der eigentlichen Gleichung.

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Das klingt schonmal um einiges verständlicher, vielen Dank. Nun verstehe ich noch nicht, wie ich einfach die Eigenschaft in meine Gleichung einfügen kann und dann plötzlich die oberen Werte verschwinden, wie z.B. x^2-16   -   philippjaeger, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Du ersetzt jedes \(x^2-16\) durch \((x+4)(x-4)\). So wird aus \(\dfrac{x^2-16}{x+4}=\dfrac{(x+4)(x-4)}{x+4}\). Jetzt hast du im Nenner und im Zähler den gleichen Term, nämlich \(x+4\). Diesen kannst du kürzen, wodurch man \(\dfrac{(x+4)(x-4)}{x+4} = \dfrac{(x-4)}{1} = (x-4)\) erhält. Analog dazu verfährst du auch mit dem zweiten Bruch.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Das ging mal schnell, vielen Dank für die simple Erklärung!   -   philippjaeger, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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