Bogenlänge eines Kurvenstücks


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Hier ist meine Aufgabe:

Ich würde nun so vorgehen, dass ich zuerst die Ableitungen von x(t) und y(t) berechne:

x´(t)=3cos(t)^2*(-sin(t)) , y'(t)=3sin(t)^2*cos(t)

damit dann die Länge des Tangentenvektors |x'->|=Wurzel((x'(t))^2+(y'(t)^2))

wobei ich auf : |x'->|=Wurzel(18)sin(t)cos(t) komme...

Nun würde ich den oben gezeigten Beweis anwenden und Wurzel(18)*(sin(pi/6)^2/2) von Wurzel(18)*(sin(pi/3)^2/2) abziehen

Dabei komme ich auf das Ergebnis 1,06 LE

Ich befürchte dass ich hierbei vollkommen falsch vorgehe und würde mich über eine detaillierte Lösung ungemein freuen.

LG

 

gefragt vor 2 Monate
d
duschmal,
Punkte: 25
 

Hättest auch die Formel \(\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)}\,\mathrm{d}\theta\) benutzen können.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate

* \(\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}\theta\)   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate

Okay, aber wie komme ich auf die geforderten Werte r und θ ?
Das erinnert mich an die Polarform von Komplexen Zahlen...
Danke für die Ergänzung
  -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate
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2 Antworten
2

Ich werde mal mein Glück versuchen. Zunächst verwendest du die allgemeine Formel.

(Z.B. hier nachzulesen) 

https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_281/modul_2/teil_8/node65.html

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((-3*sin(t)*cos(t)^2)^2+(3*cos(t)*sin(t)^2)^2)`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^4)+(9*cos(t)^2*sin(t)^4))`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^4)+(9*cos(t)^2*sin(t)^4))`

Hier der wichtige Schritt: Soviel wie möglich zusammenfassen!

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^2)*(cos(t)^2+sin(t)^2))`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^2)*1)`

`int_{pi/6}^{pi/3}3*sin(t)*cos(t)`

Und es sollte dir jetzt ein leichtes sein, auf die Lösung von `3/4` LE (wie oben richtig angegeben) zu kommen.

 

geantwortet vor 2 Monate
vt5, verified
Student, Punkte: 3365
 

Wow, vielen Dank! Dieses Umschreiben fällt mir wohl noch etwas schwer, aber werde ich üben :)
Ja jetzt komme ich auch auf das selbe Ergebnis!
  -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate
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2

Bis zu deinem Tangentenvektor stimmt alles soweit. Du hast dich nur bei der Berechnung der Länge von diesem vertan. Ich habe für die Länge \(3 \cdot cost \cdot sint\) raus.

Zum Vergleich: Mein Endresultat beträgt \( \frac{3}{4}\) LE.

geantwortet vor 2 Monate
j
jordan,
Student, Punkte: 140
 

Hey, schonmal vielen Dank für die Antwort, aber vielleicht kannst du mir ja noch helfen auf das richtige Ergebnis zu kommen.
also ich habe ja jetzt unter der Wurzel stehen: 9*(cost^2*-sint)^2 + 9*(sint^2*cost)^2
nun wird ja cost^2 + sint^2 zu 1 und ich kann die Gleichung wie folgt neu schreiben:
Wurzel(9*(-sint + cost)^2)
nun würde sich nach wurzel ziehen für mich folgendes ergeben: 3*sint+cost
also die 3 kann ich nun nachvollziehen, wenn ich sint quadriere und dann die wurzel ziehe wird es auch positiv, sollte somit auch richtig sein, aber das + kann ja irgendwie nicht stimmen?
  -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate

Nein das stimmt so nicht. Also, du hast folgende Wurzel, wie du schon richtig geschrieben hast:
\(\sqrt{9cos^{4}t sin^{2}t+9sin^{2}tcos^{4}t}\)
Hier kannst du nun unter der Wurzel \( 9cos^{2}t sin^{2}t\) ausklammern und erhälst:
\( \sqrt{9cos^{2}t sin^{2}t(cos^{2}t+sin^{2}t)}\)
Unter Verwendung von \( sin^{2}t + cos^{2}t = 1 \) bleibt noch
\( \sqrt{9cos^{2}t sin^{2}t} = 3costsint\)
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate
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