Lösen einer Gleichung


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Hallo da draußen,

ich versuche schon seit geraumer Zeit die folgende Gleichung zu lösen:

24*(e^-0,4x-e^-0,6x)=1

Die Gleichung ist eine Teilaufgabe einer original Abiturklausur aus dem GK. Soweit ich das verstanden habe, muss man substituieren und genau da fehlt mir leider der Ansatz...deswegen hoffe ich, dass mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann :-)

 

MfG Max

 

gefragt vor 1 Woche, 4 Tage
m
max88,
Schüler, Punkte: 5
 

original Abiturklausur aus dem GK - Aus welchem Bundesland?   -   orthando, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

2012, NS   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ich habe letztes Jahr in Niedersachsen Abi gemacht mit dem TI Voyage 200 (CAS) und es war immer klar, dass solche Aufgaben so gelöst werden sollen. Er braucht ca. 13s zum Lösen dieser Gleichung... (Das ist lang im Vergleich zu anderen ABI-Rechnungen)   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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2 Antworten
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\(24\left( e^{-0.4x}-e^{-0.6x} \right) = 1 \\
\Leftrightarrow e^{-0.4x}-e^{-0.6x}= \dfrac{1}{24} \\
\Leftrightarrow (e^x)^{-0.4}-(e^x)^{-0.6}=\dfrac{1}{24}\)

Sei nun \(u=e^x\), so erhält man die Form

\(u^{-0.4}-u^{-0.6}=\dfrac{1}{24} \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{u^{0.4}}-\dfrac{1}{u^{0.6}}=\dfrac{1}{24}\\
\Leftrightarrow 24u^{0.6}-24u^{0.4}=u \)

Dann könnte man die Gleichung noch umformen, sodass man auf 
\( v^3-24v+24=0\) mit \(v=u^{0.2}\) kommt, aber dann stößt man an das nächste Problem.

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10981
 

Du denkst auch es ist zu schwer für Schule oder???   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ja, so viel Zeit hat man dafür im Abi auch nicht. Wenn ein GTR/CAS vorhanden ist, soll sicherlich darüber gelöst werden.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Danke für Eure Hilfe. Ich habe mich auch gefragt, wie man an das "x²" kommen soll.. und hänge eben auch bei einem Ansatz. Aber um genau zu sein, dient dies für mich derzeit "nur" zur Übung. Wenn Ihr der Meinung seid, dass dies zu schwer bzw. komplex ist, um die Aufgabe so zu lösen, dann widme ich mich einfach anderen Aufgaben. Ich ging auch ehrlich gesagt nicht davon aus, dass sich diese Aufgabe als so komplex erweisen würde.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Was denn für ein \(x^2\)?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Für eine Substitution.. bzw. dann eben z², damit man die ABC-Formel oder was auch immer anwenden kann, um an zwei x-Werte zu gelangen. Inzwischen habe ich aber eingesehen, dass das wohl so nicht funktioniert.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Danke für Eure Hilfe und die Anregungen. Ich werde diese Übungsaufgabe dann mal bei Seite legen und andere angehen, da ich offensichtlich nicht den richtigen TR habe, um die Funktion im Ganzen ausrechnen zu lassen und ich ferner davon ausging, dass die Gleichung per Hand zu lösen sei. In diesem Sinne noch einmal vielen Dank :-)   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 2 Tage

Dann kannst du die Frage schließen.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 2 Tage

Bin noch nicht lange auf dieser Seite... wie schließe ich die Frage?   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 2 Tage

Du müsstest neben der up und down Wertung einer Antwort auch die Möglichkeit haben, die Antwort zu akzeptieren, dann ist die Frage geschlossen.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 2 Tage
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Wenn du das meinst: `24*(e^(-0.4x)-e^(-0.6x))=1`

dann gilt: `24*(e^(-0.4x)-e^(-0.6x))-1=0`

Diese Gleichung hat folgende Lösungen

1) 5*log((4*sqrt(23)*i-12)^(1/3)+8/(4*sqrt(23)*i-12)^(1/3))=

`x_{1}=7.282`

2) 5*ln(-(sqrt(3)*i*root(3,4*sqrt(23)*i-12))/2-root(3,4*sqrt(23)*i-12)/2+(4*sqrt(3)*i)/root(3,4*sqrt(23)*i-12)-4/root(3,4*sqrt(23)*i-12))=

`x_{2}=0.234`

Wenn ihr also noch keine komplexe Zahlen kennst, liegt hier mit Sicherheit ein Schreibfehler vor!!!

geantwortet vor 1 Woche, 4 Tage
vt5, verified
Student, Punkte: 1260
 

Wieso muss man komplexe Zahlen kennen?
Keine Ahnung wie du auf die linken Terme gekommen bist, aber auf die Terme rechts kommt man spätestens mit Näherungsverfahren und ist alles reell ;).
  -   orthando, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Danke für die Antwort. Die Lösung kenne ich imprinzip, denn die stehen im Anhang. Was mir fehlt ist ein schriftlicher Weg, also wie komme ich zu einer Substitution, damit ich z.B. die Mitternachtsformel anwenden kann, um an die beiden x-Werte zu gelangen.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Und was ist die Lösung laut Schulbuch, sind das die gleichen Werte oder nicht.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Das ist keine Aufgabe aus einem Schulbuch, sondern eine original Abituraufgabe aus dem Jahr 2012. Ja die Lösung stimmt, aber mir geht es nicht um die Lösung an sich, sondern einen schriftlichen Weg dahin. Und das, was Du da angegeben hast, hilft mir leider nicht weiter, da ich aus diesem Buchstabensalat nicht schlau werde.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage


Ok ich versuche mal, es zu erklären: Das von Hand exakt zu bestimmen ist eine meiner Meinung nach viel zu schwere Aufgabe. Wenn ihr ein CAS (Taschenrechner) benutzen dürft, dann macht das einfach damit. Wenn nicht, habe ich keine Ahnung bzw. werde ich deine Frage nicht so beantworten können, das du da mitkommst.
Diese Lösungen bekommst du mit einem CAS System, wenn du die Gleichung lösen lässt. Dieses Lösungsverfahren erfordert viel Aufwand und eben auch komplexe Zahlen... So sehen sie in "schön" aus, siehe eingefügtes Bild oben...
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Danke für Deine erneute Antwort. Also die Aufgabe sollte wohl mit GTR gelöst werden.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Das ist ja fast das Gleiche wie CAS...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Damit kenne ich mich leider nicht so gut aus. Die vorigen Teilaufgaben ließen sich jedenfalls ganz einfach lösen und man brauchte den TR auch nur zum ausrechnen der Ableitungen und der Rechnung mit dem ln.. deswegen wundert es mich, dass diese Teilaufgabe jetzt so komplex zu sein scheint   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Dann frag mal einen Experten (Lehrer) ob ihm ein Lösungsverfahren einfällt, vielleicht übersehe ich ja auch einfach etwas...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Verzeih die Frage, aber wie würde ich die Funktion denn durch den TR jagen? Hab einen Casio: fx-82DE PLUS (falls dir das was sagt)   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ich kenne leider nicht alle Modelle, kann der Wertetabellen oder Funktionen zeichnen?   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Der 82DE PLUS ist aber kein GTR, sondern ein WTR.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ich kann glaube ich Funktionen eintippen. Leider habe ich damit aber keine Erfahrungen..bei einem Versuch kam da nur Syntax Error rauß.. der fragt dann auch so Sachen wie: Startwert, Endwert usw. und da habe ich keine Ahnung, was der TR damit meint.   -   max88, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ok, dann frag am besten mal deinen Lehrer, damit er euch auf die TR Bedienung vorbereitet, denn das zu können ist fürs Abi ziemlich wichtig. Aus der Ferne ist das nicht so einfach. Start und Endwert sind aber zwei x-Werte zwischen denen die y-Werte der Funktion berechnet werden sollen.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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