Abstand der Geraden vom Ursprung berechnen


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Hallo ich komme bei (4) nicht weiter und habe keinen Ansatz wie ich an die Aufgabe ran gehe..

kurz was ich bei Aufgabe 1 schon berechnet habe:

(1) g: \(y = \frac{17}{5} - 3x\)

(3) 

Achsenabschnittsform: \(\frac{15}{17}x + \frac{5}{17}y = 1\)

Hesse -Normalform: \(\frac{3}{\sqrt{10}} x + \frac{1}{\sqrt{10}} y = \frac{17}{5 \sqrt{10}}\)

 

kann mir jemand bitte bei (4) weiter helfen?

 

gefragt vor 1 Woche, 3 Tage
d
danny96,
Student, Punkte: 4
 
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4 Antworten
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Steigungswinkel: Winkel der Geraden zur x-Achse (Sinus: y-Wert durch Hypotenuse im Steigungsdreick (=Norm des Richtungsvektor (1,-3)), im rechtwinkligen Dreieck, Cosinus: x-Wert durch Norm des Richtungsvektors im rechwinkligen Dreieck, Tangens: y-Wert durch x-Wert im Steigungsdreick.) Fall der Winkel nicht zwischen -90 und 90 Grad liegt, entsprechende Winkel berücksichtigen (Periode der Funktionen beachten).

Normalform bitte nochmal Nachfragen. Wir haben das so definiert, wie im Video gezeigt. In dieser Form also `g= 1/sqrt(10)*(3,1)*(x-(0,(17/5)))`

Für den Abstand x=(0,0) in diese Funktion einsetzen und den Betrag des Ergebnisses nehmen.

Als Kontrolle kann die Extremstelle der Funktion `sqrt(x^2+(17/5-3x)^2)` bestimmt und in diese Funktion eingesetzt werden, auch dies gibt den gleichen Abstand... 

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
vt5, verified
Student, Punkte: 1260
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dankeschön, habe hier auch die Lösung nur kann mir nicht erklären was die da genau machen 

 

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
d
danny96,
Student, Punkte: 4
 

Ok helfe die gleich, beantworte noch kurz eine andere Frage, schau dir schon mal die Zeichnung an...
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage

Das Video sollte erklären, wie du auf diese Form der Gleichung kommst
`g= 1/sqrt(10)*(3,1)*(x-(0,(17/5)))`
Ausmultipliziert für x-Vektor (x,y) ergibt sich `3/sqrt(10)*x+1/sqrt(10)*y-(0+17/(5*sqrt(10)))=0`
Umgestellt ergibt sich die Gewünschte Lösung für die Normalform `3/sqrt(10)*x+1/sqrt(10)*y=17/(5*sqrt(10))`
Es ist jetzt eine tolle Eigenschaft dieser Darstellung, dass die rechte Seite den Abstand des Ursprungs zur Geraden angibt. Begründen lässt sich dies auch, es hat mit dem rechten Winkel zwischen Gerade und Lot auf der Geraden durch den Ursprung zu tun, aber du kannst das einfach als Definition verwenden. Alternativ wäre auch eine Berechnung über die sogenannte Abstandsfunktion denkbar, dazu die Funktion `sqrt(x^2+(17/5-3x)^2)`. Das ist für dich wahrscheinlich aber nicht so relevant.
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage

Betrachten wir nun den Winkel. Die Bedeutung von sin, cos und tan sollten dir natürlich bekannt sein, ansonsten das nochmal auffrischen. Schau mal in meine Zeichnung: Du sieht den Winkel Alpha in meinem Dreieck. Das soll der Steigungswinkel sein (da er vom Betrag immer kleiner als 90 Grad (Definition und siehe Aufgabenstellung) sein muss, ist er unter der x-Achse eingetragen).

Nun kannst du den normierten Richtungsvektor benutzen, wie in der Musterlösung, das musst du aber nicht. Ich habe den nicht normierten Vektor (1,3) verwendet. Das ist nur Geschmackssache und funktioniert analog.

Der tan ist nun das einfachste: Du betrachtest des eingezeichnete Steigungsdreieck. Es hat in x Richtung (kurz x) die Länge 1 in y-Richtung (kurz y) die Länge 3 und in "Geradenrichtung" (kurz r) die Länge `sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)` (also die Norm des Richtungsvektors).

Der Tanges zum eingezeichneten Winkel ergibt sich zu y/x also -3.
Der Sinus ist y/r also `-3/sqrt(10)`
Der Cosinus ist x/r also `1/sqrt(10)`
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage
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Vielen Dank für deine Antwort, um ehrlich zu sein weiß ich aber immer noch nicht wie ich die Aufgabe löse bzw. bräuchte ich einen Ablauf um die Aufgabe zu lösen, wie es in den Lösungen steht 

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
d
danny96,
Student, Punkte: 4
 

Ok was genau willst du den wissen? Wie man genau auf die Hesse-Form kommt? Das man so den Abstand zum Ursprung bestimmt musst du dir doch einfach nur merken, das sollte doch kein Problem sein.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage
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Danke meine Frage war ja mehr auf den Winkel gestellt, die Hesse- Form habe ich ja schon ausgerechnet aber hat sich erledigt, hatte deine letzte Nachricht mit dem Winkel nicht gelesen 

nochmal vielen Dank :) 

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
d
danny96,
Student, Punkte: 4
 

Wenn alles geklärt ist, kannst du die Frage schließen   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 3 Tage
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