Die Bogenlänge bei Vektoranalysis


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Hallo, folgende Aufgabe:

Nun würde ich normal zur Berechnung der Bogenlänge ja wie folgt vorgehen:

Die Ableitungen der x und y- Werte berechnen und quadrieren. Danach aufsummieren und die Wurzel ziehen. Damit hab ich dann die Länge des Tangentenvektors. Der Beweis sollte ja auf den Tangentenvektor anwendbar sein wodurch ich dann die die Werte für t (also 0 und 2pi) einsetzen und voneinander abziehen kann

Leider bekomme ich das überhaupt nicht aufs Blatt, da mich schon beim Ableiten das r stört...

Diese wirkt sehr passend für diese Form der Darstellung von x->, jedoch habe ich keinen Ansatz wie ich diese anwenden kann..

Würde mich über eine (detaillierte) Hinführung extrem freuen, da ich hier wohl etwas auf dem Schlauch stehe...

LG

 

gefragt vor 2 Monate
d
duschmal,
Punkte: 25
 
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1 Antwort
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     Also das würde ich so machen:
EDIT musste mich verbessern...
Zunächst die Ableitungen bestimmen! Nach t, wobei das r wie eine Konstante behandelt wird, klassisches Ableiten sollte bekannt sein:

Erster Term: (-cos(t)+1)*r

Zweiter Term: sin(t)*r


Anwendung der Standard Formel (für Parameter):
`int_{0}^{2pi}sqrt(((-cos(t)+1)*r)^2+(sin(t)*r)^2)`dt
`int_{0}^{2pi}sqrt(((-cos(t)+1)^2+sin(t)^2)*r^2)`dt
Jetzt vereinfachen (mit binomischer Formel)...
`int_{0}^{2pi}sqrt(((-cos(t))^2-2*cos(t)+1^2+sin(t)^2)*r^2)`dt
`int_{0}^{2pi}sqrt((-2*cos(t)+1+cos(t)^2+sin(t)^2)*r^2)`dt
sin(t)^2+cos(t)^2=1 ausnutzen...
`int_{0}^{2pi}sqrt((-2*cos(t)+1+cos(t)^2+sin(t)^2)*r^2)`dt
`int_{0}^{2pi}sqrt((-2*cos(t)+1+1)*r^2)`dt
Weiter vereinfachen:
`int_{0}^{2pi}sqrt(2(-cos(t)+1))*r`dt

und die Hilfe aus der Aufgabenstellung einsetzen:
`int_{0}^{2pi}sqrt(2(2sin(t/2)^2))*r`dt
`int_{0}^{2pi}sqrt(4*sin(t/2)^2)*r`dt
`int_{0}^{2pi}2*sin(t/2)*r`dt
Hilft dir das schon mal?          
                      
   Die Lösung sollte 8r sein...
                       

geantwortet vor 2 Monate
vt5, verified
Student, Punkte: 3365
 

Also schon mal vielen vielen Dank für diese ausführliche Darstellung! Doch wenn ich ehrlich bin weiß ich nicht wie ich auf das Ergebnis von 8 kommen soll... Viel fehlen kann wohl nicht mehr bis zu dem Ergebnis, aber das stumpfe Einsetzen von 0 und 2pi führt offenbar nicht dazu...   -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate

Was hast du denn als Stammfunktion für das Integral.   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate

Stammfunktion bilden, das hab ich vergessen! Aber auch dabei hängts.. Ich bekomme -2*cos(t/2) heraus.
  -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate

Nein du vergisst die Kettenregel, es muss sein `-4*cos(t/2)` und natürlich beim Endergebnis das r nicht vergessen...
  -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate

Okay, da muss ich wohl das ein oder andere wiederholen..
Nochmals Danke für deine Mühe
  -   duschmal, kommentiert vor 2 Monate
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