Der schmelzende Eisberg. Wieviele Aufgaben hat das kleine Einmaleins?


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In der Grundschule hatte ich Schwierigkeiten, das kleine Einmaleins zu lernen. Das sind immerhin 100 Aufgaben, wie Tabelle 1 zeigt. Also eine ganze Menge.

Tabelle 1: Das kleine Einmaleins im Urzustand
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20\\
3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30\\
4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40\\
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50\\
6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60\\
7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70\\
8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80\\
9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90\\
10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100\\
\hline
\end{array}
\)

Bis ich dann begriffen habe, dass ich gar nicht alle Aufgaben zu lernen brauche. Zum Beispiel muss ich gar nicht wissen, wieviel \(7\cdot 5\) ist, solange ich weiß, wieviel \(5\cdot 7\) ist. Das reduziert die Menge der zu lernenden Aufgaben schon erheblich. Das Ergebnis ist Tabelle 2.

Tabelle 2: Das kleine Einmaleins nach Tilgung doppelter Aufgaben
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 & 1 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 & 2 & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 & 3 & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 & 4 & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & \\
10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100\\
\hline
\end{array}
\)

Das sind jetzt nur noch \(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10\) Aufgaben. Wie über den kleinen Gaus [1] schnell herauszufinden ist, sind das genau 55 Aufgaben. Aber das lässt sich noch weiter reduzieren. Die 1er- und die 10er-Reihe brauchen gar nicht gelernt zu werden. Für die 1er-Reihe gilt: \(1\cdot x=x\) (einmal irgendwas ist irgendwas), und für die 10er-Reihe \(10\cdot x = x0\) (wenn etwas mit 10 multipliziert wird, dann heißt das einfach, dass an dieses etwas eine Null drangehängt wird). Dadurch wird aus Tabelle 2 jetzt Tabelle 3.

Tabelle 3. Das Kleine Einmaleins ohne doppelte Aufgaben, 1er-Reihe und 10er-Reihe
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 &  & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 &  & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 &  & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 &  & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 &  & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 &  & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 &  & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 &  & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & \\
10 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\end{array}
\)

Das dampft die Anzahl der zu lernenden Aufgaben bereits auf \(1+2+3+4+5+6+7+8=36\) Aufgaben ein (wieder der kleine Gaus!). Jetzt habe ich aber bereits in der Grundschule einen speziellen Trick für die 9er-Reihe gefunden. Der funktioniert nur innerhalb der Grenzen des kleinen Einmaleins, da aber wunderbar. [2] Der Trick lässt sich am besten mit Tabelle 4 illustrieren.

Tabelle 4: Der 9er-Reihen-Trick
\(
\begin{array}{rcccrl|c|c}
A & \hspace{-2ex} & \hspace{-2ex} & \hspace{-1ex} & \hspace{-1ex}B & \hspace{-2ex}C & A+C & B+C\\
\hline
1 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-2ex}9 & 10 & 9\\
2 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-2ex}8 & 10 & 9\\
3 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}2 & \hspace{-2ex}7 & 10 & 9\\
4 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}3 & \hspace{-2ex}6 & 10 & 9\\
5 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}4 & \hspace{-2ex}5 & 10 & 9\\
6 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}5 & \hspace{-2ex}4 & 10 & 9\\
7 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}6 & \hspace{-2ex}3 & 10 & 9\\
8 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}7 & \hspace{-2ex}2 & 10 & 9\\
9 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}8 & \hspace{-2ex}1 & 10 & 9\\
10 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}9 & \hspace{-2ex}0 & 10 & 9
\end{array}
\)

Beispiel:

Wenn ich wissen will, wieviel \(7\cdot 9\) ist, dann brauche ich zunächst die Zehnerergänzung zu 7. Das ist 3. Damit ist 3 die Einerstelle des Ergebnisses. Die Quersumme des Ergebnisses muss 9 sein (das ist so, solange ich im kleinen Einmaleins bleibe). Von 3 bis 9 ist 6. Damit ist 6 die Zehnerstelle meines Ergebnisses. Das Ergebnis ist 63.

Mit diesem Trick brauche ich auch die 9er-Reihe nicht zu lernen und komme zu den in Tabelle 5 endgültig zu lernenden Aufgaben.

Tabelle 5: Die tatsächlich zu lernenden Aufgaben des kleinen Einmaleins
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 &  & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 &  & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 &  & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 &  & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 &  & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 &  & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 &  & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
10 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\end{array}
\)

Das sind jetzt nur noch \(1+2+3+4+5+6+7=28\) Aufgaben (schon wieder der kleine Gaus!). Das ist dann etwas, was auch für einen Grundschüler zu bewältigen ist.

Wie es möglich ist, ganz ohne kleines Einmaleins (nur mit Verdopplung und Halbierung) schriftlich zu multiplizieren, zeige ich ein anderes mal.

[1]
Zum kleinen Gaus siehe zum Beispiel hier:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9115/der-kleine-gau-ohne-worte/

oder hier:

https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagfduUlVvKFj6PiDhlw?e=XiawQU

[2]
Für die 9er-Reihe gibt es noch eine zweite Form, das Ergebnis zu bestimmen, ohne die 9er-Reihe lernen zu müssen. Dabei wird nach Formel (1) gerechnet.

$$9\cdot x = (10\cdot x)-x\tag{1}$$

Im Unterschied zu dem im Text beschriebenen Trick funktioniert die Berechnung nach Formel (1) in jedem Fall, auch außerhalb des kleinen Einmaleins.

 

 

Community Artikel, geschrieben vor 3 Monate
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 

Tabelle 1, 2 und 3 finde ich ja sehr lustig. Wie du hier aber Tabelle 4/5 ins Spiel bringen willst, verstehe ich nicht. Es gibt für fast jede Zahlenreihe einen "Trick" um das "Lernen" zu umgehen. Und bei allem Respekt -> Deine Formel braucht deutlich länger als es einfach zu wissen. Gerade für den Jahrgang, der sich mit dem Einmaleins überhaupt befassen soll.
Der Trick sollte also meiner Ansicht nach einen extra Artikel verdienen (den Trick selbst finde ich nämlich cool).

Übrigens mein Lob zum Schreibstil. Genauso viel wie nötig, kein Blabla und dabei noch interessant! :)
  -   orthando, verified kommentiert vor 3 Monate

Dass es zu fast jeder Zahlenreihe eine Trick gibt, glaube ich gerne. Hast Du einen für die 7er-Reihe? Dann her damit! ;-) Etwas »einfach zu wissen«, also einfach sinnfrei auswendig zu lernen, funktioniert bei mir nicht. Das ist auch das Problem, das ich beim lernen von Fremdsprachen habe. Grammatik zum Beispiel ist überhaupt kein Problem. Was ich nicht kann (oder nur sehr schwer bewerkstellige), ist, Vokabeln auswendig zu lernen.

Ich kann Dir zum Beispiel die Formel für die Standardabweichung jederzeit aus arithmetischem Mittel, Variation (SAQ) und Varianz herleiten (rekonstruieren). Auch, wenn Du mich um vier Uhr nachts aus dem Tiefschlaf reißt. Aber auswendig gelernt habe ich das nie.

Das kann ich gar nicht.
  -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate

Wie gesagt, ging es mir mehr um die Schüler/Jünglinge, die dabei sind das Einmaleins zu lernen. Ein Wissen über Quersummen oder Gleichungen erwarte ich da nicht. Die ersten drei Tabellen kann ich zumindest näher bringen.
Nur daher der Hinweis, dass der Trick in einem Artikel besser aufgehoben wäre ;).

Für die 7er-Reihe kenn ich nur folgendes:
3*7 = 3*2 + 3*5 = 6 + 15 = 21
Also das Aufsplitten der 7 in 2 und 5, welches beide sehr einfache Reihen sind.
  -   orthando, verified kommentiert vor 3 Monate

Das mit der 7er-Reihe hätte ich in der Grundschule wissen sollen. Das ist klasse!

Diesen 9er-Reihen-Trick habe ich mir in der Grundschule selbst zusammengebastelt, weil das mit dem Auswendiglernen nicht geklappt hat. Ich habe mir diese Reihe angeschaut und bin darauf gestoßen.

Was für andere Kinder vielleicht einfacher ist, ist das, was ich in der Anmerkung zu der 9er-Reihe gesagt habe, also \(9\cdot x = (10\cdot x)-x\) zu rechnen.

Es mag auch Kinder geben, denen es leichter fällt, etwas auswendig zu lernen, als irgendwelche »Tricks« anzuwenden. Jeder Jeck ist anders, wie es in Köln heißt. Eine allgemeine Methode, das kleine Einmaleins zu lernen, die für alle Kinder gleichermaßen gut funktioniert, gibt es, glaube ich, nicht.

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate
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