Lagrange-Verfahren: Lagrange Multiplikator


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Hallo,

ich rätsle momentan über den Lagrange Multiplikator: ich hab verstanden, dass man die Gradienten der Funktion und Nebenbedingung auf Parallelität prüft, aber ist mir nicht ganz klar wieso?

Danke im Voraus.

Grüße,

h

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2185
 
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1 Antwort
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Hallo,

wir suchen für die Lagrange Multiplikatoren diese Punkte unserer Funktion, die sowohl unsere Nebenbedingung "berühren", also auf dem Graphen unserer Nebenbedingung liegen und zudem maximal/minimal sind (im Bezug auf die Punkte die die Nebenbedingung erfüllen)

Nun bedeutet die Eigenschaft, das die Punkte auf dem Graphen der Nebenbedingung und auf dem Graphen der Funktion selbst liegen nichts anderes, als das der Graph der Nebenbedingung die Funktion an diesen Punkten tangiert. 

Wenn wir uns an das Aufstellen einer Tangente erinnern, sind an dem Punkt wo sich Tangente und Graph treffen auch die Steigung der Funktion und der Tangente gleich. 
Im mehrdimensionalen kann man sich diese Eigenschaft als Parallelität der Gradienten vorstellen. 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Antwort :) das macht schon so deutlich mehr Sinn. Allerdings verstehe ich nur noch nicht wieso man tangentierende Punkte betrachtet und nicht beispielsweise auch Schnittpunkte?
  -   wirkungsquantum, kommentiert vor 1 Monat

Das ist eine gute Frage und ich musste auch etwas länger drüber nachdenken, aber ich bin zu folgendem Schluss gekommen.
Stellen wir uns das ganze graphisch vor. Nehmen wir eine Funktion. Wenn wir diese graphisch darstellen, können wir diese als Höhenlinien darstellen.
Randbedingungen sind im einfachsten (und meisten) Fall Kurven.
Was ist nun der Unterschied wenn die Kurve eine Höhenlinie tangiert oder schneidet.
Nun wenn unsere Kurve die Höhenlinie schneidet, dann können wir auf der Kurve der Nebenbedingung ein kleines Stück vor gehen oder ein kleines Stück zurück gehen. Da die Höhenlinie geschnitten wurde geht man in eine der beiden Richtungen nach unten und die die andere Richtung nach oben, es kann also kein Maximum/Minimum vorhanden sein, da wir ohne die Randbedingung zu verletzen (wir bewegen uns ja auf der "Randbedingungskurve") eine höhere/niedrigere Stelle erreichen können.
Ich stelle mir Höhenlinien gerne wie einen Berg mit verschiedenen Ebenen auf verschiedenen Höhen vor.
Das schneiden ist wenn wir den Berg gerade hinauflaufen. Wir schneiden die verschiedenen Ebenen. Wenn wir jetzt aber den Berg hoch steigen und auf einer Ebene kurz den Ausblick genießen und dann wieder herunter gehen, dann tangiert unsere Bewegung nur die Höhenlinie anstatt sie zu schneiden.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, jetzt macht das endlich deutlich mehr Sinn :) Das Forum ist mittlerweile echt klasse geworden.   -   wirkungsquantum, kommentiert vor 1 Monat

Das freut mich beides sehr zu hören. Es wächst und wird immer professioneller :)
Deshalb an dieser Stelle nochmal ein Dankeschön für die zahlreichen Feedbacks die du uns hast zukommen lassen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat
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