Eigenwerte der Matrix


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Hallo zusammen, die Aufgabenstellung (siehe Bild, Aufgabe E) gibt vor, dass ich beweisen soll, dass die Summe der Eigenwerte der Matrix 7 beträgt. Das Aufstellen mit -Lambda in der Diagonale der Matrix ist mir bekannt. Ich komme beim Ausmultiplizieren allerdings nicht weiter. Kann mir eventuell jemand übersichtlich die Rechenschritte aufschreiben? Vielen vielen Dank vorab.

 

gefragt vor 1 Monat
muc.a,
Student, Punkte: 15
 
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2 Antworten
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https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm
Ich mache das mit x, nicht mit Lambda und ich würde auch nicht entwickeln weil eh so viele Nullen vorkommen:
Du rechnest das folgende:
`(1-x)*(5-x)*(1-x)+(2*6*0)+(3*4*0)-(0*(5-x)*3)-(0*6*(1-x))-(1-x)*2*4=0`
`(1-x)*(5-x)*(1-x)-(1-x)*8=0`
`(5-6x+x^2)*(1-x)-8+8x=0`
`5-6x+x^2-5x+6x^2-x^3-4+4x=0`
`-x^3+7x^2-3x-3=0`
Nullstellen probieren erste Nullstelle x=1 weil `-1+7-3-3=0`
Polynomdivision durchführen. Die anderen Nullstellen bestimmen. Fertig.

geantwortet vor 1 Monat
vt5, verified
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Hallo,

mit ausmultiplizieren meinst du das du Probleme damit hast die Determinante zu bestimmen? 

\( \chi(\lambda) = \left| \begin{matrix} 1 - \lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5- \lambda & 6 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{matrix} \right| \)

Ich würde hier zuerst nach der letzen Zeile entwickeln, dann erhälst du 

\( \Rightarrow \chi(\lambda) =  (-1)^{3+3} (1- \lambda) \left| \begin{matrix} 1 - \lambda & 2 \\ 4 & 5 - \lambda \end{matrix} \right| \)

Die Determinante einer 2x2 Matrix berechnet sich nun leichter. 

\( \Rightarrow \chi(\lambda) =  (1- \lambda) ( (1- \lambda)(5- \lambda) - 8) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christian strack, verified
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