F( x)= x+1 Untersumme mit n geht gegen Unendlich bilden?


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Halli Hallo👋🏻

Wie bilde ich die Untersumme von x+1? Eigentlich ist dies ja eine Lineare Funktion aber unsere Lehrerin möchte das wir das mit Unter- und Obersumme machen und n gegen Undendlich laufen lassen. Kann mir da jemand helfen?

 

gefragt vor 1 Monat
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lina1399,
Schüler, Punkte: 10
 

Und die Obersumme kannst du bilden?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat

Ich konnte nichts von beiden bilden🤷🏻‍♀️   -   lina1399, kommentiert vor 1 Monat
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2 Antworten
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Hallo!

 

Da die Funktion \(\displaystyle f(x) = x+1\) Riemann-integrierbar ist, konvergieren sowohl die Unter- als auch die Obersumme gegen den gleichen Wert. Wir integrieren hierbei auf dem Intervall \(\displaystyle [0,a]\), was zur Folge hat, dass die Maschenweite \(\displaystyle \frac{a-0}{n} = \frac{a}{n}\) beträgt. Für die Funktion bedeutet dies im Umkehrschluss, dass wir folgende Summe bilden (\(\displaystyle f(k\cdot a\div n)\)):

 

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a}{n}\cdot\left(k\cdot\frac{a}{n}+1\right)\right) = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a^2}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{n^2} + a\cdot\frac{n+1}{n}\right) = \frac{a^2}{2} + a\).

 

Zur Überprüfung:

 

\(\displaystyle \int_{0}^{a} x + 1\,\mathrm{d}x = \left. \frac{x^2}{2}+x\right\vert_{0}^{a} = \frac{a^2}{2} + a\).

 

Gruß.

geantwortet vor 1 Monat
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Danke für deine Antwort, jetzt stellt sich mir die Frage wie du da rauf gekommen bist. Als ich die Untersumme aufgestellt habe und versucht habe aufzulösen haben sich bei mir jedoch die n nicht weggekürzt.
LG
  -   lina1399, kommentiert vor 1 Monat

Zeig' doch mal Deinen Ansatz.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat
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Also zunächst kann man rechnen `sum_{k=0}^{n}a/n*(k*a/n+1)=sum_{k=0}^{n}(a^2)/(n^2)*k+a/n`. 

Das ist eine Summe vom Typ `sum_{k=0}^{x}m*k+b`.
Diese Summe kannst du umschreiben in zwei Einzelsummen vom Typ `sum_{k=0}^{x}m*k+sum_{k=0}^{x}b`. Für diese Einzelsummen kannst du jetzt (hoffentlich) bekannte Regeln anwenden. Einmal die Gaußsche Summenformel und zudem eine Standardsumme. So kann man finden `sum_{k=0}^{x}m*k+sum_{k=0}^{x}b=m*x*(x+1)/2+b*(x+1)`
In unserer gesuchten Summe hast du `b=a/n` sowie `x=n` und `m=(a^2)/(n^2)`. Eingesetzt ergibt sich:
`(a^2)/(n^2)*n*(n+1)/2+a/n*(n+1)=a^2*(n+1)/(2n)+a*(n+1)/n`
Von diesem Ausdruck musst du jetzt den Grenzwert bestimmen, dabei solltest du wissen wogegen `(n+1)/n` und `(n+1)/(2n)` für große n gehen. Setze z.B. einfach mal sehr große Zahlen ein. Du solltest auf das bereits oben genannte Ergebnis kommen.

Streng genommen gibt es jetzt noch einen Unterschied zwischen Unter- und Obersummen, wenn mich nicht alles täuscht. Bei der Untersumme bestimmst du `sum_{k=0}^{n-1}a/n*(k*a/n+1)` und bei der Obersumme `sum_{k=1}^{n}a/n*(k*a/n+1)`.

geantwortet vor 1 Monat
vt5, verified
Student, Punkte: 3105
 

Bei dem Unterschied hast Du vollkommen recht, da aber hier der Grenzwert gefragt ist, ist dieser Unterschied nicht mehr vorhanden.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat

Ja weiß ich, sonst wäre es ja auch gar nicht Riemann-integrierbar. Aber wir hatten so Lehrer, die wollten, dass man das auch zeigt - also beides "einzeln" berechnet.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat

Richtig, aber im Endeffekt ist es das selbe.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat
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