Extrema mit 3 Variablen


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Hallöchen,

Ich habe die Gleichung (x²y²+y²z²+x²z²)/xyz =a

Für x<y<z und 0<x,y,z<1

Aus einer anderen Gleichung geht noch vor dass

x=y-b

y=y

z=y²-y(y-b)²

 

Mich würde interessieren was der kleinstmögliche Wert für x ist. 

Ich habe versucht das Extremum zu berechnen, bin da aber irgendwie gescheitert. 

Das Ergebnis sollte am Ende aber auf jedenfalls größer sein als √3 (das würde rauskommen wenn a=b=c gelten würde). 

 

Vielen lieben Dank! 

 

 

gefragt vor 1 Monat
e
emil1234,
Schüler, Punkte: 10
 

y=y (Sinn?)
x=y-b (b ist nicht definiert)
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat

x,y und z sind alle von y abhängig. X ist etwas kleiner als Y und Z etwas größer. Wie viel kleiner bzw größer bestimmt b. B muss kleiner sein als y, da x > 0 gilt.   -   emil1234, kommentiert vor 1 Monat

Also wenn es Dir um das Extremum geht, dann drücke alles in Abhängigkeit von \(y\) aus (ich gehe davon aus, dass \(b\) eine reelle Konstante darstellt) und benutze Wolframapha oder Du tust es Dir an und rechnest es per Hand dann entsprechend aus … irgendwie ist Deine Frage ziemlich unklar formuliert.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat
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2 Antworten
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Du kannst auch über Lagrange Multiplikatoren arbeiten, was bei so viel Nebenbedinungen etwas unangenehm werden kann.

geantwortet vor 1 Monat
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2185
 

Meint der Fragesteller damit, dass das alles Nebenbedingungen sind? Irgendwie ist dies nicht ganz ersichtlich bzw. wie hast Du es verstanden?   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat

Ja ich dachte das das eine Reihe von Nebenbedingungen sind. Wobei y=y wirklich eine sinnlose Nebenbedingung ist :D   -   wirkungsquantum, kommentiert vor 1 Monat
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Vielleicht mache ich ja was falsch, aber ich denke du hast überhaupt keine mögliche Lösung für dein Problem.
Es muss gelten (siehe deine Bedingungen) z>y, das heißt z-y>0 bzw. `y^2-y(y-b)^2-y>0`. Zudem muss b ebenso wie x,y,z zwischen 0 und 1 liegen (da stimmst du mir hoffentlich zu).
Aus `y^2-y(y-b)^2-y>0` folgt y<0 oder `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2<y<(sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2` wobei `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2` also kleiner als 1 sein sollte, um die Bedingungen zu erfüllen.
Also `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2<1`. Ich denke aber, dass man zeigen können sollte, dass diese Aussage nie gilt, dein "System" also bereits irgendwo in den Bedingungen einen Fehler haben sollte.

 

geantwortet vor 1 Monat
vt5, verified
Student, Punkte: 3035
 

Du hast recht, ich habe z falsch definiert.
z=1-y²-y(y-b)²
  -   emil1234, kommentiert vor 1 Monat

Toll jetzt kann ich alles noch mal machen...
Und du schreibst auch von c, was ist c?
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat

Ich habe aber eine Idee, wie es gehen könnte. Du machst das, was ich gerade schon für das Falsche z gemacht habe. Dann bekommst du Nullstellen. Die reelle Nullstelle muss größer als b sein. Diese Gleichung lösen (lassen) - geht sowieso nur numerisch. Die Lösung müsste ca. b=0,618 sein. Also x kann dann ganz, ganz wenig größer als 0 sein, für y=0,618. Ohne CAS bekomme ich das aber auch nicht hin.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat
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