4x5 Matrix Zeilenstufenform


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Ich hatte eine Frage ich habe eine 4x5 Matrix und wollte fragen wie die Zeilenstufenform aussieht.

Ich habe eine Lösung, die von der Musterlösung abweicht aber man kommt auf dieselbe Lösungsmenge.

 

Meine Lösung:

 

Musterlösung:

 

Wie oben erwähnt ich beomme dieselbe Lösungsmenge raus. Aber bei der Musterlösung ist der Rang 3, bei mir der Rang 4 .

 

Wieso muss ich die komplette letzte Zeile auf Nullen bringen und wieso kann ich die Nichtnullen in der dritten Zeile so lassen?

 

MFG

 

gefragt vor 1 Monat
y
yassoplaya385,
Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Hallo,

du bist noch nicht in der Zeilenstufenform. Du kannst noch die zweite und dritte Zeile addieren (ich hoffe der \( x_5\) Wert in der dritten Zeile ist wirklich eine \( -5 \)). Das musst du, weil hier die "Stufe" fehlt, beide Zeilen haben nur die ersten beiden Einträge gleich Null, aber die dritte braucht mindestens noch an der dritten Stelle eine Nulle

\( \to \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \)

Nun ist die dritte Zeile das doppelte der vierten Zeile also erhalten wir da nach verrechnen noch eine Nullzeile und kommen bei der Musterlösung an

\( \to \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0  & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} \right) \)

Du erhälst trotzdem die selbe Lösung, da man durch elementare Zeilenumformungen das LGS nicht verändert. Deshalb nutzt man sie auch um das LGS auf eine einfachere Form zu bringen (Zeilenstufenform) um die Lösung schneller ablesen zu können. 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 


Was wäre wenn in meiner Lösung in der dritten Stelle in der dritten Zeile anstatt -2 eine 0 stehen würde, wäre die Matrix dann in Zeilenstufenform und warum kann die letzte Zeile nicht einfach mit 1 stehen bleiben?

MFG
  -   yassoplaya385, kommentiert vor 1 Monat

Ja genau dann wäre deine Matrix in Zeilenstufenform.
Wie bereits gesagt bringt man ein Gleichungssystem in Zeilenstufenform, da man dadurch bestimmte Informationen besser ableiten kann.
Um die "finale" Zeilenstufenform zu erhalten müssen alle anderen Zeilen linear unabhängig voneinander sein. Für jede Nullzeile die man so erhält, kann man beispielsweise direkt ablesen wie viele freien Variablen man einführen muss.
Man kann auch so direkt den Rang der Matrix ablesen usw.
Du siehst das man natürlich auch wenn man die Nullzeile nicht erzeugt das LGS lösen kann. Du kannst sogar das LGS lösen ohne elementare Zeilenumformungen zu nutzen.
Aber durch die Zeilenstufenform kannst du mehrere Informationen auf einmal herleiten. Aber dafür ist es dann wichtig die "finale" Zeilenstufenform zu bestimmen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat
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"wollte fragen wie die Zeilenstufenform aussieht."

Das kommt darauf an, wie die Matrix ursprünglich lautet.
Deine Lösung ist jedenfalls falsch, da dort das LGS keine Lösung besitzt.

geantwortet vor 1 Monat
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12501
 

ohja stimmt habe vergessen die Ausgangsmatrix zu posten, einen Moment.   -   yassoplaya385, kommentiert vor 1 Monat
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