Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale


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Hallo! Leider bin ich gerade am verzweifeln und verstehe die Aufgaben überhaupt garnicht und brauche daher einen Rechenweg mit Erklärungen. Das blöde ist, das die Aufgaben auch was mit dem Grenzwert zu tun haben, aber auch bei Grenzwerten blicke ich nicht durch. Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, ob die gefärbte unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt A hat. Geben Sie ggf. A an. Die Teilaufgaben a) und b) sind als Bild angehängt. Also Integral aufstellen, Stammfunktion bilden und dann F(b)-F(a) bilden kann ich. Ich weiss aber nicht was ich mit den Ergebnissen anfangen soll und was ich dann da mit den Grenzwerten machen soll. Danke bereits für alle Antworten!

 

gefragt vor 1 Monat
f
fasn,
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1 Antwort
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Uneigentliche Integrale hast du nur, wenn mind. eine Integralgrenze als Funktionswert nicht existiert.

Z.B. \(\displaystyle\int\limits_0^5 \dfrac{1}{x}\, dx\), da die Funktion \(\dfrac{1}{x}\) an der Stelle \(x=0\) nicht definiert ist.

Bei der linken Funktion \(-4x^{-3}\) existiert der FW an der Stelle \(x=-1 \Rightarrow f(-1)=4\), jedoch ist die untere Grenze nicht definiert (minus Unendlich).

Hier ist nun das best. Integral \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx\) gefordert. Das ist gleichbedeutend mit \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx = \lim\limits_{a \to -\infty}\displaystyle\int\limits_{a}^{-1} f(x)\, dx\).

Du bildest zuerst die Stammfunktion: \(F(x)=\dfrac{2}{x^2}+C\)

Nun entspricht nach der Änderung oben \(\lim\limits_{a \to -\infty}\displaystyle\int\limits_{a}^{-1} f(x)\, dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \left [ F(-1) - F(a)\right] = \lim\limits_{a \to -\infty} \left [ \dfrac{2}{(-1)^2} - \dfrac{2}{a^2}\right] = \lim\limits_{a \to -\infty}\left [ 2 - \dfrac{2}{a^2}\right] \)

Da der Grenzwert \(\lim\limits_{a \to -\infty} \dfrac{2}{a^2} = 0\) ist, lautet \(F(a) = 0\).

Somit ist \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx = F(-1)- F(0) = 2 - 0 = 2\).

 


Man könnte sich merken, dass Integrale mit dem Integranden \(\dfrac{1}{x^\alpha}\) mit mind. einer kritischen Integrationsgrenze (unendlich) nur für \(\alpha > 1\) konvergieren.

 

geantwortet vor 1 Monat
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12571
 

Danke schonmal für die Antwort, aber da ist noch etwas unklar für mich:
Nämlich bei „Bei der linken Funktion (...)“ Muss man dann einfach die eine Grenze die man hat in die Funktionsgleichung einsetzen? Und was macht man dann mit der Zahl, in dem Fall die 4, was macht man dann mit der 4.
Was ich auch nicht verstehe ist unten:
Warum ist der Grenzwert für 2/a^{2} = 0? Woher soll man das wissen, bzw. wie berechnet man das?
  -   fasn, kommentiert vor 1 Monat

"„Bei der linken Funktion (...)“"
Ich wollte damit nur zeigen, dass diese Grenze existiert. Man kann das allerdings auch direkt in der Grafik sehen.

\(\lim\limits_{a\to -\infty} \dfrac{2}{a^2} = \dfrac{2}{\lim\limits_{a\to -\infty}a^2} = \dfrac{2}{-\infty^2}=0\)
Das sind Basics, die man zum Thema Grenzwerte wissen sollte. Am besten zu dem Thema noch mal informieren.

Alternativ kann man das auch überprüfen, in dem man 'große' negative Werte für a einsetzt:
\(\dfrac{2}{(-9999)^2} \approx 2\cdot 10^{-8} \approx 0\)
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat

Danke, ich habe jetzt noch eine Aufgabe gemacht und auch richtig lösen können. Ich weiss, dass ich unbedingt Sachen zum Grenzwert wiederholen muss, ich weiss aber nicht wo ich etwas zu dem Thema finde was mit weiterhelfen kann, denn in meinem Buch steht nichts dazu.   -   fasn, kommentiert vor 1 Monat

Du kannst ja mal bei Daniels YT Playlist reingucken: https://www.youtube.com/watch?v=ttUWTu3jusA&list=PLLTAHuUj-zHjhEZQAs0VLnt8yyyUhePF6

Ansonsten gibt es hier noch mal eine Auflistung von Regeln: https://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat

Schaue ich mir direkt mal an! Danke für die Hilfe!!   -   fasn, kommentiert vor 1 Monat
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