Verständnisproblem bei der formalen Definition einer Zufallsvariable


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Guten Mittag,

allgemein denke ich, dass ich eine Zufallsvariable korrekt verstanden habe.

Einem Ergebnis wird eine Wahrscheinlichkeit innerhalb des Mess- bzw Zustandsraumes zugewiesen. Allerdings habe ich meine Probleme mit der formalen Definition aus meiner VL.

Seien \( \Omega,Z \) zwei Mengen. Es sei \( F \) eine \( \sigma \)-Algebra über \( \Omega \) und \( K \) eine \( \sigma \)-Algebra über \( Z \). Eine Abbildung \( X: \Omega \rightarrow Z \) heisst Zufallsvariable, wenn \( X^{-1}(B) = \{ \omega \in \Omega : X( \omega ) \in B \} \in F \) für alle \( B \in K \) gilt.

Mein bisheriges Verständis der Definition lautet wie folgt: \( X^{-1}(B) \) ist die Menge der Elemente in \( \Omega \) die durch \( X \) auf ein Element in \(B\) abgebildete werden.

Anhand der obigen Definition soll ich nun in einer Aufgabe zeigen (Klausurvorbereitung), dass \( X:(\omega,\mathcal{P}(\Omega))\rightarrow(Z,\mathcal{P}(Z)) \) eine Zufallsvariable ist.

Ist vermutlich echt trivial aber ich steh auf dem Schlauch!

Vielen Dank im Voraus!

Beste Grüße 

EDIT: hatte ein kleines Omega in der Abbildung der Aufgabe. Hab das gefixt :)

 

gefragt vor 1 Monat
d
dondibronson,
Student, Punkte: 0
 
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1 Antwort
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Hallo,

genau das hast du richtig verstanden. Es ist noch wichtig zu erwähnen das \( X^{-1}(B) \in F \) und \( B \in K \). Unsere Abbildung geht also in ein Mengensystem. Genauer gesagt von in eine \( \sigma\)-Algebra. Und unsere Urbild Menge ist auch eine Teilmenge einer \( \sigma\)-Algebra.

Nun steht vermutlich \(  \mathcal{P} \) für die Potenzmenge. Du musst also zuerst zeigen das jede Potenzmenge eine \( \sigma\)-Algebra ist. Das sollte ziemlich einfach sein, denn die Potenzmenge einer Menge ist immer die größte \( \sigma\)-Algebra einer Menge.

Nun hast du eine Abbildung  in eine Potenzmenge. Dadurch das die \( \sigma\)-Algebra von \( \omega \) die Potenzmenge ist und die Potenzmenge die größte \( \sigma\)-Algebra ist muss \( X^{-1}(B) \in \mathcal{P}(\omega ) \) sein und wir haben automatisch eine Zufallsvariable. 

Hätte wir keine Potenzmenge gegeben wäre es nicht gewährleistet das wir auch wieder in unserer \( \sigma\)-Algebra landen und deshalb müssten wir da dann mehr zeigen. 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Hat mir sehr geholfen dankeschön!   -   dondibronson, kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag

Freut mich sehr zu hören.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag
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