Rohre stapeln


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Wie geht man so eine Aufgabe am einfachsten an?

 

gefragt vor 1 Monat
p
philippjaeger,
Punkte: 10
 
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2 Antworten
2


In jeder Schicht liegt je ein Rohr mehr:
1. 4 ; 2. 5 ; 3. 6 ; 4. 7 ...
In Summe also 1. 4 ; 2. 9 ; 3. 15 ; 4. 22 ...
... das kannst du jetzt einfach 13 mal machen... ODER:
wenn man will, mit einer Formel lösen. Wenn ihr das schon hattet...
Summe der Rohre (SR) nach x Schichten:
`SR=sum_{i=1}^{x}(i-1)+4x=x^2/2-x/2+4x`
Das soll jetzt 130 sein `x^2/2-x/2+4x=130` bzw. `x^2-x+8x=x^2+7x=260`
Lösungsformel: `x=(-7+sqrt(49+1040))/2=(-7+33)/2=13`
Die negative Lösung entfällt hierbei.
Die restlichen Überlegungen sind einfach...

geantwortet vor 1 Monat
vt5, verified
Student, Punkte: 3105
 

Vielen Dank, hab es mir wohl zu kompliziert machen wollen.   -   philippjaeger, kommentiert vor 1 Monat

Dann kannst du die Frage mit dem Häkchen schließen.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat
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1

Hallo philippjaeger,

das ist eine schöne Aufgabe. Die rolle ich jetzt mal aus einer anderen Perspektive auf. Das sieht für mich nämlich nach einem verallgemeinerten und umgedrehten kleinen Gaus aus. Der kleine Gaus gibt die Antwort auf die Frage, wie groß die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n ist.

  • Wenn Du die Zahlen von 1 bis n nebeneinander schreibst,
  • in der Zeile darunter dieselben Zahlen in umgekehrter Reihenfolge (also von n bis 1)
  • und schließlich spaltenweise addierst, also 1+n, 2+(n-1) usw. bis (n-1)+2 und n+1

dann bekommst Du eine dritte Zeile, in der n mal die Summe (n+1) steht. Addierst Du diese dritte Zeile, dann bekommst Du das Doppelte der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Vergleiche dazu Abblidung 1.

Abbildung 1: Herleitung des kleinen Gaus
\(
\begin{array}{ccccccccc}
1 & + & 2 & + & \cdots & + & n & = & {\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}i}\\
n & + & n-1 & + & \cdots & + & 1 & = & {\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}i}\\
\hline
\left(n+1\right) & + & \left(n+1\right) & + & \cdots & + & \left(n+1\right) & = & {\displaystyle 2\sum\limits _{i=1}^{n}i}
\end{array}
\)

Daher gilt der kleine Gaus (g). :-)

$$\sum\limits _{i=1}^{n}{i}=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2} \tag{g}$$

In Deinem Fall hast Du aber nicht die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n, sondern von 4 bis n. Du bekommst aber trotzdem in der dritten Zeile einen konstanten Summanden. Angenommen, Du hast 3 Schichten mit Röhren und die oberste Schicht hat 4 Röhren nebeneinander. Dann sieht das so aus, wie in Abbildung 2.

Abbildung 2: Drei Röhrenschichten
\(
\begin{array}{r|ccccccccccc|r}
1 &  &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  &  & 4\\
2 &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & 5\\
3 & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! &  & \!\!\!\bigcirc\!\!\! & 6\\
\hline
\sum &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 15
\end{array}
\)

Es gilt hier also der in Abbildung 3 gezeigte Zusammenhang.

Abbildung 3: verallgemeinerter kleiner Gaus für drei Röhrenschichten und vier Röhren in der obersten Schicht
\(
\begin{array}{ccccccc}
4 & + & 5 & + & 6 & = & \sum\limits _{i=4}^{6}i\\
6 & + & 5 & + & 4 & = & \sum\limits _{i=4}^{6}i\\
\hline
10 & + & 10 & + & 10 & = & 2\cdot\sum\limits _{i=4}^{6}i
\end{array}
\)

Deshalb gilt für dieses Beispiel Gleichung (1)

$$\frac{3\cdot 10}{2}=15 \tag{1}$$

Wenn dieses Beispiel verallgemeinert wird, dann gilt der in Abbildung 4 gezeigte Zusammenhang.

Abbildung 4: Herleitung des verallgemeinerten kleinen Gaus
\(
\begin{array}{ccccccccccc}
{\scriptstyle k} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle (k+1)} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle (k+(m-2))} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle (k+(m-1))} & {\scriptstyle =} & {\scriptstyle \quad\sum\limits _{i=k}^{n}i\qquad\textrm{mit}\quad m=n-k+1}\\
{\scriptstyle (k+(m-1))} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle (k+(m-2))} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle (k+1)} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle k} & {\scriptstyle =} & {\scriptstyle \quad\sum\limits _{i=k}^{n}i\qquad\textrm{mit}\quad m=n-k+1}\\
\hline
{\scriptstyle 2k+(m-1)} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle 2k+(m-1)} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle \cdots} & {\scriptscriptstyle {\scriptstyle +}} & {\scriptstyle 2k+(m-1)} & {\scriptstyle +} & {\scriptstyle 2k+(m-1)} & {\scriptstyle =} & {\scriptstyle 2\cdot\sum\limits _{i=k}^{n}i\qquad\textrm{mit}\quad m=n-k+1}
\end{array}
\)

Dabei ist \(k\) der kleinste Summand, in den Abbildungen 2 und 3 ist das 4, \(n\) der größte Summand, in den Abbildungen 2 und 3 ist das 6, und \(m\) die Anzahl der Summanden, in den Abbildungen 2 und 3 ist das 3.

Deshalb gilt für den verallgemeinerten kleinen Gaus Gleichung (2).

$$\sum\limits _{i=k}^{n}i=\frac{m\cdot(2k+(m-1))}{2}\qquad\textrm{mit}\quad m=n-k+1 \tag{2}$$

Wenn \(\sum _{i=k}^{n}{i}=x\) gesetzt wird, dann ergibt sich Formel (3)

$$x=\frac{m\cdot(2k+(m-1))}{2}\tag{3}$$

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Rohre, \(m\) die Anzahl der Schichten, die übereinander gelegt werden müssen und \(k\) die Anzahl der Rohre in der obersten Schicht. In dem im Ausgangsposting beschriebenen Fall ist

  • \(x=130\)
  • \(k=4\)
  • \(m=\) gesucht

Formel (3) muss also nach \(m\) umgestellt werden. Nach Wolfram Alpha ergeben sich zwei Gleichungen, eine für ein positives und eine für ein negatives Ergebnis (Formeln (4) und (5)). [1]

\begin{eqnarray}
m_{1} & = & \frac{\sqrt{4k^{2}-4k+8x+1}-2k+1}{2} \tag{4}\\
m_{2} & = & -\frac{\sqrt{4k^{2}-4k+8x+1}-2k+1}{2} \tag{5}
\end{eqnarray}

Da es von der Aufgabenstellung her kein negatives Ergebnis geben kann, werden einfach die angegebenen Werte für \(x\) (das ist 130) und für \(k\) (das ist 4) in Formel (4) eingesetzt. Anschließend kann das Ergebnis und \(k=4\) zur Überprüfung in Formel (3) eingesetzt werden. Es muss dann 130 für \(x\) herauskommen. Oder Du zeichnest nach dem Vorbild in Abbildung 2 eine Pyramide mit der ausgerechneten Anzahl an Schichten, schreibst die Anzahl der Rohre rechts neben jede Schicht und addierst dann alles. Wenn 130 herauskommt, hast Du richtig gelegen.

Viele Grüße
jake2042

 

Anmerkungen

[1]
Siehe https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%3Dm*%282*k%2B%28m-1%29%29+%2C+m%3D%3F

geantwortet vor 1 Monat
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1145
 

So geht es natürlich auch, wenn man will. Mir wäre das ja zu viel Aufwand das alles in Zeichen zu setzen, aber was lange währt, wird endlich gut (wie du ja sicher selbst gemerkt hast). Vote nach oben...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat

Wenn ich ein paar fertige Formeln im Kopf gehabt hätte (außer den kleinen Gaus, der sich leicht ableiten lässt), dann wäre das sicher einfacher gewesen. Aber so hatte ich die Gelegenheit, etwas wirklich gedanklich durchzuspielen. Das ist doch auch was. :-)

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 1 Monat
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