Grenzwert gegen 0


1

 

Ich suche die Lösung von folgender Aufgabe:

 

\( \lim\limits {x\rightarrow 0}{\frac{1 - \cos x } {x^2} } \)

 

Ich denke ich der Weg ist mit \( \frac{1+\cos{x}} {1+\cos{x}} \) zu erweitern, aber dann bleibt immernoch

 

\( \lim\limits {x \rightarrow 0}{\frac{1 - \cos^2 x } {x^2 /cdot {1 + \cos x }}} \)

L'Hospital darf ich leider nicht verwenden, da der Satz erst in Mathematik 2 kommt.

Wie mache ich weiter?

 

Edit: Okay, ich hoffe ihr versteht, was ich meine, ich bekomme das LaTex nämlich nicht gefixt. Für jede Anmerkung dazu bin ich auch sehr dankbar :D

 

 

 

 

gefragt vor 1 Monat
l
lukastimmer,
Student, Punkte: 15
 

Was LaTeX betrifft, funktioniert bei mir folgendes:

\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos x}{x^{2}}}
$$\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos x}{x^{2}}} \tag{1}$$

\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\cdot{1+\cos x}}}
$$\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\cdot{1+\cos x}}} \tag{2}$$


Ist in Term (2) tatsächlich \(\cos^{2}x\) (Code: \cos^{2}x) gemeint? das sieht merkwürdig aus.

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 1 Monat

Errata

das sieht merkwürdig aus. = Das sieht merkwürdig aus.
  -   jake2042, verified kommentiert vor 1 Monat

Für `(cos(x))^2` darf man auch kurz schreiben (war bei uns auch so) `cos^2(x)`.   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat

Aha. Das wusste ich nicht.

Vielen Dank und viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 1 Monat
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1 Antwort
2

Ich würde mich hier gar nicht mit erweitern aufhalten. Sehe ohnehin nicht ganz, wo du da letztlich hinwillst. Das \(x^2\) ist ja weiterhin vorhanden und demnach x = 0 weiterhin ein Problem ;).

l'Hospital zweifach angewendet sollte schnell zum ziel führen.

 

\(\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\)

l'Hospital kann ich hier direkt anwenden:

\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{2x}\)

Und auch hier kann ich l'Hospital direkt anwenden.

\(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)}{2}\)

Wenn man nun das im Grenzwert betrachtet, haben wir im Zähler \(1\). Insgesamt als \(\frac12\).

 

Was mit deinem Latex nicht stimmt, sehe ich übrigens nicht. Sieht eigentlich gut aus?!

geantwortet vor 1 Monat
o
orthando, verified
Student, Punkte: 2015
 

Sorry, ich muss dazu sagen, dass ich für die Mathematik 1 Klausur lerne. Da "gibt" es bei uns noch keinen L'Hospital :/
Trotzdem danke!
  -   lukastimmer, kommentiert vor 1 Monat

Darfst du \(\lim \frac{\sin(x)}{x} = 1\) verwenden? Dann kommt man auch ganz gut hin. Dein Ansatz ist dafür schon eine perfekte Vorlage :).   -   orthando, verified kommentiert vor 1 Monat

Der Vollständigkeithalber:

\(\lim \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \lim \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x^2(1+\cos(x))} \)
Trigonometrische Pythagoras
\(= \lim \frac{\sin(x)^2}{x^2(1+\cos(x))}\)
Splitten des Bruchs
\(= \lim \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{1+\cos(x)}\)
\(= \frac12\)
Denn der erste Summand ist wegen \(\lim \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
  -   orthando, verified kommentiert vor 1 Monat
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