Prozentrechnen


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sie haben bei der bank eine anlage über 12500 Euro welche jährlich zu sensationellen 7,5 % verzinst wird.

wie hoch sind die Zinsen in 2,5 jahren?

 

gefragt vor 3 Wochen, 6 Tage
m
matteo.2002,
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3 Antworten
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Eigentlich wären Ansätze gut, aber ich will mal nicht so sein...

Kommt drauf an (ich runde auf Cent):

1) Wenn die Zinsen nur jährlich ausgezahlt werden:

Gesamt vorhandenes Geld `12500€*1.075^2=14445.31€`

Die Zinsen sind dann das, was du mehr bekommen hast.

2) Wenn die Zinsen z.B. monatlich ausgezahlt werden, also nach 2 Jahren und 6 Monaten auch gerade ausgezahlt werden:

Gesamt vorhandenes Geld `12500€*1.075^(2.5)=14977.22€`

 

geantwortet vor 3 Wochen, 6 Tage
vt5, verified
Student, Punkte: 3035
 
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2

 

Hallo vt5,
ich habe das nicht sofort erkannt, aber hinter Deiner Antwort steckt dieselbe mathematische Gesetzmäßigkeit (vielleicht ein unglücklicher Ausdruck), wie beim geometrischen Mittel, nur umgekehrt angewandt.

Beim geometrischen Mittel habe ich die Frage: Wenn sich mein Geld ich konstanten Zeitintervallen zu unterschiedlichen Prozentsätzen vergrößert oder vermindert, welcher konstante (in diesem Sinne: durchschnittliche) Prozentsatz würde nach x Intervallen zu demselben Kontostand führen?

Beispiel:

Ich habe ein Konto, bei dem ich bei Eröffnung 100 Euro einzahle. Nach einem Jahr habe ich 10 Prozent mehr auf dem Konto, also 110 Euro. Nach einem weiteren Jahr verliere ich wieder 10 Protent. 10 Prozent von 110 Euro sind 11 Euro. Das heißt, nach zwei Jahren habe ich 99 Euro auf dem Konto.

Wie hoch ist der durchschnittliche Prozentsatz über zwei Jahre? Das arithmetische Mittel würde hier zum falschen Ergebnis führen. Danach hätten wir +10 Prozent plus ‒10 Prozent gleich 0, geteilt durch 2 Jahre gleich 0 Prozent Veränderung. Oder mit Faktoren: \(\frac{1,1+0,9}{2}=\frac{2}{2}=1\). Das heißt, nach dem arithmetischen Mittel hätten nach zwei Jahren immer noch 100 Euro auf dem Konto sein müssen. Es sind aber nur 99 Euro.

Die richtige Antwort bietet das geometrische Mittel, definiert nach Gleichung (1).

$$\mathring{x}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot\;\cdots\;\cdot x_{n}} \tag{1}$$

In meinem Beispiel berechnet sich das geometrische Mittel nach Gleichung (2).

$$\mathring{x}=\sqrt[n]{\prod\limits _{i=1}^{n}x_{i}}=\sqrt[2]{1,1\cdot 0,9}=0,995\; \textrm{oder etwa}\;‒0,5\% \tag{2}$$

In Wirklichkeit ist die Zahl irrational. Aber wenn der exakte Faktor genommen wird, dann führt er nach zwei Jahren zum richtigen Ergebnis von 99 Euro.

Das heißt, es gilt: \(100\cdot 0,995^{2}=99\) (mit einem kleinen Rundungsfehler). Das ist genau das, was Du gemacht hast.

Die ganze Aufgabe im Ausgangsposting ist natürlich auch sukzessive lösbar. Das ist nur mit mehr Rechnerei verbunden (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1: Schrittweise Lösung der Aufgabe im Ausgangsposting
\(
\begin{array}[t]{|crr|}
\hline
\textrm{Jahr} & \textrm{Betrag} & \textrm{Zinsfaktor}\\
\hline
0 & 12\,500,00\;\text{€} & 1,075\\
1 & 13\,437,50\;\text{€} & 1,075\\
2 & 14\,445,31\;\text{€} & \sqrt{1,075}\\
2,5 & 14\,977,22\;\text{€} & \\
\hline
\end{array}
\)

Eine kleine Schwierigkeit ergibt sich natürlich beim Übergang vom Ende des 2. zum Ende des 2,5. Jahres. Sinn der Aufgabenstellung war wahrscheinlich, ob dann bei den Prüflingen die Idee auftaucht,

nicht zu sagen:

Am Ende des 2. Jahres habe ich 14445,31 Euro und am Ende des dritten Jahres 15528,71 Euro. Dann nehme ich jetzt einfach das arithmetische Mittel aus beiden Zahlen und sage, es seien \(\frac{14445,31+15528,71}{2}=14987,01\) Euro.

sondern eben die Quadratwurzel aus dem Faktor 1,075 benutzen (bei zwei Jahren und vier Monaten wäre es die dritte Wurzel gewesen).

Viele Grüße
jake2042

 

geantwortet vor 3 Wochen, 6 Tage
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1145
 
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1

Was wäre dein Ansatz/deine Überlegungen?

geantwortet vor 3 Wochen, 6 Tage
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2185
 
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