Beweis, dass 0.9999... gleich 1 ist


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1. Einführung

In der Schule lernt man ziemlich früh, Zahlen zu runden. Später erfährt man dann mehr über periodische Brüche und gelangt früher oder später sicherlich zu der Erkenntnis, dass \(0.\overline{9}\) gerundet \(1\) ergibt. Es ist jedoch so, dass \(0.\overline{9}\) nicht nur gerundet, sondern exakt \(1\) ist. Warum das so ist, werden wir nun auf zwei Arten zeigen.

2. Beweis durch Bruchrechnung

Der Bruch \(\frac{1}{3}\) kann durch die periodische Dezimalzahl \(0.3333...\), also \(0.\overline{3}\) dargestellt werden. Es gilt also: $$0.\overline{3}=\frac{1}{3}$$ Wenn du nun beide Seiten mit \(3\) multiplizierst, erhältst du: $$3\cdot 0.\overline{3}=3\cdot \frac{1}{3}$$ und das ergibt $$0.\overline{9}=1$$ Dieser Beweis überzeugt jedoch nur bedingt, da wir davon ausgehen müssen, dass \(0.\overline{3}\) tatsächlich exakt \(\frac{1}{3}\) ist. Wir müssten zuerst beweisen, dass \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) und könnten das dann erst für unsere Argumentation verwenden.

3. Beweis durch die geometrische Reihe

Viel besser ist hingegen der Beweis über die geometrische Reihe. Die periodische Dezimalzahl \(0.\overline{9}\) lässt sich durch die Summe $$9\cdot \frac{1}{10}+9\cdot \frac{1}{100}+9\cdot \frac{1}{1000}+9\cdot \frac{1}{10000}+...$$ angeben, denn \(9\cdot \frac{1}{10}=0.9\), \(9\cdot \frac{1}{100}=0.09\), \(9\cdot \frac{1}{1000}=0.009\) usw. und wenn du das bis ins Unendliche fortführen würdest, würdest du nach der Addition all dieser Summanden die periodische Dezimalzahl \(0.\overline{9}\) herausbekommen. So weit, so gut. Doch wie hilft dir dieses Wissen jetzt bei deinem Beweis? Die Summe $$9\cdot \frac{1}{10}+9\cdot \frac{1}{100}+9\cdot \frac{1}{1000}+9\cdot \frac{1}{10000}+...$$ kannst du auch mithilfe des Summenzeichens ausdrücken. Wähle dazu als Laufvariable \(k\) mit der Bildungsfunktion $$f(k)=9\cdot\left( \frac{1}{10}\right)^k$$ Lasse die Summe von \(k=1\) bis Unendlich laufen. Somit erhältst du die Summe über \(9\cdot\left( \frac{1}{10}\right)^k\) für \(k\) von \(k=1\) bis \(k=\infty\): $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{9\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^k}$$ Den Faktor \(9\) kannst du vor das Summenzeichen ziehen und erhältst: $$9\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}$$ Bei dem zweiten Faktor liegt offensichtlich eine geometrische Reihe mit dem Quotienten \(q=\frac{1}{10}\) vor. Da \(|q|\lt 1\) ist, konvergiert die Reihe. Doch gegen welchen Grenzwert konvergiert sie? Um das herauszufinden verwendest du diese Formel: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k}=\frac{1}{1-q}$$ Beachte aber, dass die Formel bei \(k=0\) und unsere Summe bei \(k=1\) beginnt. Deshalb musst du die Summe bei \(k=0\) starten, um die Formel anwenden zu können. Wie funktioniert das? Nun, du musst den Summanden, der sich für \(k=0\) ergibt, von der Summe abziehen, d. h. du setzt \(k=0\) in die Bildungsfunktion ein und erhältst: \(\left(\frac{1}{10}\right)^0=1\) Diesen Wert ziehst du nun von der Summe ab, d. h. du erhältst: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}\right)-1$$ Für \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}\) kannst du nun mit der Formel und \(q=\frac{1}{10}\) den Grenzwert berechnen und erhältst: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^{k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}$$ Von diesem Ergebnis substrahierst du nun die \(1\) und erhältst: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}$$ Wie du sicherlich noch weißt, hast du zu Beginn die \(9\) als Faktor herausgezogen. Diese multiplizierst du nun mit dem Ergebnis und erhältst: $$0.\overline{9}=9\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=9\cdot \frac{1}{9}=1$$ Damit ist nun bewiesen, dass \(0.\overline{9}\) nicht nur gerundet, sondern exakt \(1\) ist.

 

 

Community Artikel, geschrieben vor 2 Monate, 2 Wochen
letsrockinformatik, verified
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2 Antworten
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Hallo andré dalwigk,


Bei dem »Beweis« durch Bruchrechnung wäre ich eher von \(\frac{1}{9}=0,\overline{1}\) ausgegangen und hätte dazu gesagt, dass das eher eine Eselsbrücke als ein Beweis ist.


Was den Beweis durch geometrische Reihung betrifft, hätte ich noch eine eher philosophische Art der Betrachtung anzubieten. Das geht so:


Wie groß ist der Unterschied zwischen \(\frac{9}{10}\), also 0,9, und 1? Nun, er beträgt \(\frac{1}{10}\) bzw. 0,1. Und der Unterschied zwischen \(\frac{99}{100}\), also 0,99, und 1? – \(\frac{1}{100}\) oder 0,01. Bei \(\frac{999}{1000}\) oder 0,999 sind wir bei einem Unterschied zu 1 von \(\frac{1}{1000}\) oder 0,001.


Allgemein kann gesagt werden: je mehr Neunen ich nach dem Komma hinzufüge, desto kleiner wird der Unterschied zu 1. Solange ich eine endliche Anzahl an Neunen habe, bleibt dieser Unterschied, so klein er sein mag, aber bestehen. Diese Überlegung lässt sich jetzt mathematisch mit Gleichung (1) ausdrücken.


$$\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^{k}}\right)+\varepsilon=1\qquad\textrm{mit}\;\varepsilon>0\tag{1}$$


Wenn ich nun aber eine unendliche Anzahl an Neunen hinter dem Komma habe, dann wird der Unterschied zu 1 unendlich klein, das heißt: er verschwindet. Anders ausgedrückt: \(\varepsilon\) wird dann exakt 0.


Mathematisch betrachtet ist diese Überlegung eine Grenzwertbildung. Also: bei unendlich vielen Neunen hinter dem Komma konvergiert der Wert des Dezimalbruchs \(0,\overline{9}\) zu 1. Das lässt sich nun mit Gleichung (2) mathematisch ausdrücken.


$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^{k}}=1\tag{2}$$


Unendlich ist an dieser Stelle keine Zahl (welche Stelle auf dem Zahlenstrahl sollte »unendlich« denn besetzen?), sondern eher ein gedankliches Konzept, eine Idee. 


Zu den Eigenschaften, die der Begriff unendlich mitbringt, wenn er mathematisch verwendet wird, gibt es ein schönes Denkexperiment: Hilberts Hotel. Das wäre einen eigenen Artikel wert.


Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
jake2042, verified
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Hallo jake2042,

vielen Dank für deinen Kommentar.

Ein mathematisch überzeugender Beweis ist das natürlich nicht ;) Ich habe deshalb auch den Zusatz
"Dieser Beweis überzeugt jedoch nur bedingt [...]" hinzugefügt. Es ist tatsächlich eher als Eselsbrücke gedacht.

Deine weiteren Ausführungen zum Beweis mit der geometrischen Summenformel gefallen mir sehr und sind eine gute Ergänzung zu meiner Herangehensweise bzw. ersparen einem durch die zusätzliche Denkarbeit die notwendige Schreibarbeit ;)

Beste Grüße
André
  -   letsrockinformatik, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Vielen Dank! :-)   -   jake2042, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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Bevor man etwas beweisen kann, muss natürlich klar sein, was \(0,\bar 9\) bedeutet. Bei allen vernünftigen Definitionen gilt dann aber:


$$0,\bar 9 = \frac{9\cdot 0,\bar 9}{9}=\frac{10\cdot 0,\bar 9 -1\cdot 0,\bar 9}{9}=\frac{9,\bar 9-0,\bar 9}{9}=\frac{9}{9}=1$$


Neben \(0,\bar 9 \in \mathbb{R}\) muß die Definition von \(0,\bar 9\) nur noch hergeben, dass \(10\cdot 0,\bar 9 = 9,\bar 9 = 9+0,\bar 9 \) ist. Mit der Reihendefinition sieht man das durch Indexschubserei leicht ein.


(So könnte man auch zeigen, dass \(\frac{1}{3}=0,\bar3\) ist und muss nicht nur davon "ausgehen").

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
w
wrglprmft,
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