Matrizenexponential für kommutierende Matrizen


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Guten Abend

Ich habe ein kleines Problem mit dem ausmultiplizieren von e^x×e^y=?

Es ginge darum um zu beweisen dass e^(x+y)=e^x×e^y auch für Matrizen gültig ist wenn diese Kommutieren.

Jedoch komme ich beim ausmultiplizieren einfach nicht auf das gleiche und bin etwas am verzweifeln.

 

Wäre für jeden Ansatz froh.

Vielen Dank

Liebe Grüsse

Christian

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
c
chrugi,
Student, Punkte: 43
 
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1 Antwort
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Hallo,


ich würde es gar nicht explizit ausmultiplizieren. 


Nutze um


\( e^{X+Y} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac {(X+Y)^n} {n!} \)


zu vereinfachen den Binomischen Lehrsatz. 


Außerdem berechne mal das Cauchy Produkt von


\( e^X \cdot e^Y = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac {X^n} {n!} \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac {Y^n} {n!} \right) \)


Ich denke ab dann siehst du die Gemeinsamkeit deiner Ergebnisse. 


Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16538
 

HalloChristian

Sagen wir jetzt aber ich würde es gerne ausmultiplizieren weil ich das andere nicht kennen würde oder ähnliches...sollte ich ja trotzdem auf die gleiche Lösung kommen oder nicht?

Liebe GrüsseChristian
  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Ja solltest du und ich würde sagen tust du auch.
Zum Beispiel gilt \( xy = \frac 1 2 (xy + yx) = \frac 1 {2!} (xy + yx) \)
(Hier kommt die Kommutativität ins Spiel. Ist dir klar wieso?)
Die Lösung der Vorlesung fasst die Summanden nur unterschiedlich zusammen.

Warum tut sie das?
Guck dir nochmal die Reihe von \( e^{X+Y} \) an. Wir haben in jedem Summanden einen Faktor der Form \( (X+Y)^i \).
Außerdem gilt
\( (X+Y)^0 = 1 \\ (X+Y)^1=X+Y \)
Wir bräuchten im nächsten Summanden also den Faktor
\( (X+Y)^2 = X^2 + XY + YX + Y^2 \)
Das ist genau das was in der zweiten Klammer der Vorlesungslösung steht.
Nun müsste man beweisen, das dies sich bis ins unendliche fortsetzt und da würde ich mich persöhnlich schwer tun ohne das Cauchy Produkt und dem binomischen Lehrsatz.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Obwohl wenn ich so drüber nachdenke sollte das ganze auch mit Induktion gut zu lösen sein. Ist aber mehr Arbeit.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

In der Reihe e^(x+y) komme ich auf das gleiche wie du.
Nur komme ich leider immer noch nicht ganz klar mit dem Term bei e^x*e^y.
Da habe ich noch x^2*y und y^2*x welche ich ja nicht einfach wegbekomme die bei e^(x+y) nicht vorhanden sind...

Sorry verstehe es leider immer noch nicht ganz wie man darauf kommt dass es ausmultipliziert das gleiche geben soll.

Liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Das meine ich mit wir haben eben eine unedliche Reihe. Wenn wir rein theoretisch jeden Summanden aufschreiben könnten, dann würde wir sehen das sowohl in der Lösung von dir als auch in der Lösung der Vorlesung die selben Summanden vorhanden sind.
Die Reihenfolge wird nur eine andere sein.
Das \( x^2 \cdot y \) oder \( y^2 \cdot x \) verschwindet nicht. Das kannst du in der Lösung der Vorlesung leider nicht sehen wegen dem \( \ldots \).

Ich sag es mal so ich kann natürlich auch wegen den \( \ldots \) nicht sehen ob ihr wirklich auf das gleiche hinauswollt, aber du machst nichts falsch und ich kann mir vorstellen worauf die Vorlesung hinaus möchte.
Wie bereits gesagt sind die Summanden die du mehr aufgeschrieben hast vermutlich in anderen Klammern "untergebracht" die nicht aufgeschrieben wurden.
Das Problem an so einer Schreibweise ist das man eine Vorschrift zeigt und man sich den Rest mit den Punkten denken muss.

Wenn du dir aber überlegst welche Summanden vorkommen wenn man \( (X+Y)^n \) ausrechnet, kann man sich vorstellen das beide Darstellungen von euch das selbe aussagen.

Die Frage die man sich bei so einer Darstellung stellen muss ist worauf man hinaus will. Und das sind eben die Binome. Deshalb schreibt deine Vorlesung das direkt in dieser Form um das anzudeuten.

Nun muss man natürlich zuerst beweisen, das wirkliche alle Summanden vorkommen die man für die Binome braucht.

Das kann man eben am aller besten über das Cauchy Produkt und verlgleicht das Ergebnis mit dem binomischen Lehrsatz.

Der binomische Lehrsatz beschreibt genau welche Summanden nötig sind für die Binome und das Cauchy Produkt berechnet für unendliche absolut konvergente Reihen das Produkt.
Das Cauchy Produkt versuchst du über deinen Gedanken gerade zu umgehen. Du machst nämlich genau das was die Idee des Cauchy Produktes ist, Du mutliplizierst jeden Summanden der bei dir linken Klammer mit der kompletten rechten Klammer.
Es erspart die nur sich eine neue Vorschrift zu überlegen.

Also nochmal zusammengefasst. Der Schritt der da in dem Beweis der Vorlesung ist, ist kein wirklicher Beweis, außer er zeigt später noch das wirklich in beiden Darstellungen die selben Summanden vorkommen

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Hallo Christian

Vielen Dank für die Antwort, habe es mir noch einmal aufgeschrieben und gesehen dass es sich tatsächlich ein Term versteckt bei 3!.
Sorry für die späte Antwort war krank die letzten Tage.

Nun noch eine kleine zusätzliche Frage.
Wieso sind eigentlich die Eigenwerte von Nilpotenten Matrizen immer 0?
Was ich weiss ist, dass ja Nilpotente Matrizen irgendwann die Nullmatrix ergeben wenn man sie k-Mal auf sich selber anwendet.
Aber was hat das genau zu tun mit den Eigenwerten?
(Kann die Frage sonst auch als neue Frage stellen)

Vielen Dank und liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Kein Problem, ich hoffe es geht wieder besser :)

Für den Eigenvektor gilt
\( M \cdot \vec{v} = \lambda \vec{v} \)
Nun wenden wir die Matrix nochmal auf das Ergebnis an und erhalten
\( M \cdot \lambda \cdot \vec{v} = \lambda \cdot M \cdot \vec{v} = \lambda^2 \vec{v} \\ \Rightarrow M^k \vec{v} = \lambda^k \vec{v} \)

Wenn nun für ein bestimmtes \( k \), \( M^k = 0 \) gilt, dann muss auch

\( M^k \cdot \vec{v} = \lambda^k \cdot \vec{v} \\ \Rightarrow 0 \cdot \vec{v} = \vec{0} = \lambda^k \cdot \vec{v} \)

Da niemals der Nullvektor ein Eigenvektor ist, muss \( \lambda^k = 0 \Rightarrow \lambda = 0 \) gelten.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Hallo Christian

Vielen Dank jetzt ergibt es auch Sinn :)

Liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Sehr gerne.
Das freut mich zu hören. :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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