Berechnung von Grenzwerten


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Hallo, ich habe da mal eine Frage zur Berechnung von Grenzwerten. Mir liegt die Funktion f(x) = \frac {x+3} {4x-5}

vor. Mit Hilfe von Termumformungen komme ich auf die Form lim = \frac {x(1+ ( \frac {3} {x})} {4- (\frac {5} {x})}  ( wenn x gegen +∞ strebt). Bis dahin verstehe ich alles, aber mir ist nicht klar wieso  ( \frac {3} {x}) oder (\frac {5} {x}) gegen 0 strebt. Könnte mir das jemand vielleicht erklären? 

 

 

gefragt vor 1 Monat, 3 Wochen
m
anonym,
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3 Antworten
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Hallo anonym,

hast Du die Überlegung von mcbonnes verstanden? Er macht im Grunde genommen zwei Denkschritte.

1.
Wenn der Nenner eines Bruchs immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt, dann nähert sich der Wert des Bruchs immer mehr 0 an. Bei einem endlich großen Nenner bleibt ein Unterschied zu 0 aber bestehen, so klein er auch sein mag. Für \(\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}\) kannst Du das formal so aufschreiben, wie in Gleichung (1). [1]

$$\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}-\varepsilon=0\qquad{}\textrm{mit}\;\varepsilon>0 \tag{1}$$

2.
Wenn Du jetzt \(n\) und damit auch den ganzen Nenner gegen unendlich laufen lässt, dann wird der Unterschied zu 0 unendlich klein, das heißt: er verschwindet. \(\varepsilon\) wird dann exakt 0. Vom Gedanken her ist das eine Grenzwertbildung. Das kannst Du dann so aufschreiben, wie in Gleichung (2).

$$\lim\limits _{n\to\infty}\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}=0 \tag {2}$$

Ich glaube, wenn Du Dir das ansiehst, dann verstehst Du auch besser, was maccheroni_konstante geschrieben hat. Da geht es nämlich auch um Grenzwertbildung.

Viele Grüße
jake2042

 

Anmerkungen

[1]
\(\prod\) ist das Produktzeichen. Es arbeitet ganz analog zum Summenzeichen, nur dass nicht summiert, sondern multipliziert wird. Siehe dazu diesen Community-Artikel:

Das Produktzeichen

geantwortet vor 1 Monat, 3 Wochen
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 

danke   -   anonym, kommentiert vor 1 Monat, 3 Wochen
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\( \frac{3}{x} \) und \( \frac{5}{x} \) streben gegen Null, weil der Nenner immer größer wird, bei gleichbleibendem Zähler.

Siehe:

\( \frac{3}{10} = 0,3 \)

\( \frac{3}{100} = 0,03 \)

\( \frac{3}{1000} = 0,003 \)

\( \frac{3}{10000} = 0,0003 \)

\( \frac{3}{10.000.000.000} = 0,0000000003 \)

usw.

geantwortet vor 1 Monat, 3 Wochen
mcbonnes,
Auszubildender, Punkte: 851
 

danke
  -   anonym, kommentiert vor 1 Monat, 3 Wochen
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Ist der Zählergrad größer als der des Nenners, so verläuft die Funktion für \(x\to \infty\) auch gegen \(\infty}, da der Wert des Dividenden relativ größer wird, als der des Divisors.

Wenn der Nennergrad größer ist, verläuft sie logischerweise gegen null, da der Quotient mit einem vergleichsweise größeren Divisor kleiner wird. 

Hier ist Zähler- gleich Nennergrad. Somit dividiert man schlichtweg beide Leitkoeffizienten.

Hier: \(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x+3}{4x-5} \Rightarrow \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \)

Alternativ über L'Hospital:

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x+3}{4x-5} \Rightarrow\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{[x+3]'}{[4x-5]'} = \dfrac{1}{4}\)

geantwortet vor 1 Monat, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13221
 

danke   -   anonym, kommentiert vor 1 Monat, 3 Wochen
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