Grenzwerte


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Berechnen Sie mit Hilfe des bekannten Grenzwertes : limes n gegen unendlich (1+1/n) hoch n = e,  folgenden Grenzwert :

 

Limes n gegen unendlich (1+1/2n) hoch n = ?

 

Vielen Dank Daniel im voraus! 

 

gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
tanyajasminstatham,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Setze eine neue Variable ein (darauf muss man einfach mit Übung/erfahrung kommen): `m=2n`bzw. `n=m/2`

Aus `(1+1/(2n))^2` wird dann `(1+1/m)^(m/2)=((1+1/m)^m)^(1/2)` mithilfe der Potenzgesetze.

Nun weißt du das Limes des inneren Ausdrucks `e` sein muss. Also ist deine gesuchte Lösung `e^(1/2)=sqrt(e)` 

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
vt5, verified
Student, Punkte: 3440
 

Danke schön :))   -   tanyajasminstatham, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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Mir ist, als habest du schon nicht verstanden zu haben, weshalb \(\lim\limits_{n\to\infty}\left (1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\) ist.

\(\lim\limits_{n\to\infty}\left (1+\dfrac{1}{2n}\right)^n \\
=\lim\limits_{n\to\infty}\exp \left [ n \ln \left (1+\dfrac{1}{2n}\right) \right ] \\
=\exp \left [  \lim\limits_{n\to\infty} \left( n \ln \left (1+\dfrac{1}{2n}\right)\right) \right ]\\
=\exp \left [  \lim\limits_{n\to\infty} \left( \dfrac{ \ln \left (1+\dfrac{1}{2n}\right)}{1/n} \right) \right ]\\
=\exp \left [  \lim\limits_{n\to\infty} \left( \dfrac{ \left[\ln \left (1+\dfrac{1}{2n}\right)\right]'}{[1/n]'} \right) \right ]\\
=\exp \left [  \lim\limits_{n\to\infty} \left( \dfrac{n}{2n+1} \right) \right ]\\
=\exp \left ( \dfrac{1}{2} \right )=\sqrt{e}\)

I.Ü. gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}\left (1+\dfrac{1}{\alpha n}\right)^n=\sqrt[\alpha]{e}\).

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vielen Dank :)   -   tanyajasminstatham, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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