Algebra


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kann mir jemand den beweis für die Köassifikation der zyklischen Gruppen erklären?

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
m
mathe92x,
Student, Punkte: 20
 

Was willst du denn bewiesen haben, oder welchen Beweis hast du vorliegen. Gibt es Ansätze? - sorry aber einfach so irgendwas schreiben ohne Vorwissen anzugeben (du hast nicht mal Klassifikation richtig geschrieben), zeugt nicht gerade davon, dass es dir wichtig ist eine vernünftige Antwort zu bekommen.

Aber ich würde gerne versuchen zu helfen, wenn du mehr Informationen angibst...
  -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,


der Satz zur Klassifikation von zyklischen Gruppen besagt, das jede zyklische Gruppe \( G \) entweder zu \( \mathbb{Z} \) oder zu \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) mit \( n \in \mathbb{N} \) isomorph ist. 


Der Beweis unterteilt nun zyklische Gruppen in zwei Fälle.



  1. \( \vert G \vert = \infty \)

  2. \( \vert G \vert = n \) mit \( n \in \mathbb{N} \)


Nun stellen wir zwei Isomorphismen auf 



  1. \( \mathbb{Z} \to G , k \mapsto a^k \) ist ein Isomoprhismus 

  2. \( G \to \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} , a^k \mapsto \overline{k} \) ist auch ein Isomorphismus.


Damit haben wir gezeigt, das unendliche zyklische Gruppen isomorph zu den ganzen Zahlen und endliche zyklische Gruppen isomorph zu \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) sind.


Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16553
 
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