Einfach zusammenhängend und Integrabilitätsbedingung


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Hallo,

ich rätsel momentan darüber (anschaulich) zu verstehen wie man sich eine einfach zusammenhängende Menge vorstellen kann und wieso nur dann die Integrabilitätsbedingung gilt.

Ich habe gelesen, dass man in einfach zusammenhängenden Menge jede geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen kann, allerdins ist mir nicht ganz klar wie das gemeint ist. Im Zusammenhang zur Integrabilitätsbedingung kann ich mir vorstellen das es mit einem geschlossenen Wegintegral im Zusammenhang steht, allerdings hab ich hier sonst keine wirkliche Idee bis her.

Danke im Voraus.

Grüße,

h

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2230
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich habe leider noch nicht allzu viel Erfahrung mit Topologie aber ich gebe dir trotzdem mal meine Gedanken dazu.

Erstmal ist wie du bereits sagst einfach zusammenhängend eine Eigenschaft einer Menge. Die Integrabilitätsbedingung ist eine Eigenschaft die sich auf eine Funktion bezieht. 

Die Integrabilitätsbedingung ist also nicht davon abhängig ob die Menge zusammenhängend ist. 

Die Frage die vermutlich aufkommt ist die Frage nach einer Potentialfunktion die auf der Menge definiert ist (oder eben nicht).

Die Integrabilitätbedingung ist ganz allgemein eine notwendige Bedingung (aber keine hinreichende Bedingung) dafür, das ein Potential existiert. 
(Ich meine mich zu erinnern, das diese Bedingung daraus abgeleitet wird, das Potentiale ganz allgemein Lösungen von Poisson Differentialgleichungen sind. Beim allgemeinen Lösen dieser DGL entsteht dann diese Bedingung)

Nun stellt sich noch die Frage was genau einfach zusammenhängend bedeutet. 
Wenn eine Menge nicht einfach zusammenhängend ist, bedeutet das im Prinzip soviel wie das die Menge Löcher aufweist. Der Begriff entsteht also eigentlich sehr intuitiv. Die formale Definition wird denke ich einleuchtender wenn man auch formel anfängt damit zu arbeiten. 
Auch in der Topologie existiert ein Zwischenwertsatz und diesen finde ich anschaulicher, da dieser direkt aus der Eigenschaft "einfach zusammenhängend" resultiert. 
Der Satz sagt aus: Wenn \( X \) ein zusammenhängender Raum ist und \( f(x) \) eine stetige Abbildung und außerdem \( s,t \in f(X) \) mit \( s < t \) gilt, so werden auch alle Werte zwischen \( s \) und \( t \) angenommen. 

Wir "garaniteren" also mit dieser Eigenschaft das die Stetigkeit der Funktion nicht "aufgehoben" wird aufgrund von Lücken im Raum. 

Nun versuchen wir das ganze mal zusammen zufassen.

Ein Potential ist mathematisch eine Lösung der DGL \( - \Delta u = f \). Wenn diese DGL erfüllt wird von einer Funktion \( u \) (dies ist hier die gesuchte Funktion und \( f \) ist irgendeine "Störfunktion") dann erfüllt sie automatisch die Integrabiliätsbedingung. 
Nun besteht aber die Gefahr (meiner Auffassung nach) das sie das Potential an Stellen befindet, an denen der Raum Löcher hat. Somit wäre das Potential nicht existent, da es mathematisch zwar eins gibt, es aber nicht in diesem Raum existiert. 

Also hat jede Funktion in einem einfach zusammenhängenden Raum die der Integrabilitätsbedingung genügt ein Potential. Damit ist die Integrabilitätsbedingung eine notwendige und erst mit dem zusammenhängenden Raum eine hinreichende Bedingung.

Noch eine kleine Anmerkung dazu, das bei einem einfach zusammenhängenden Raum sich jede geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen lässt. 
Nehmen wir einen Punkt und expandieren diesen zu einem Kreis. Der Rand dieses Kreises wäre eine geschlossene Kurve. Wenn wir nun aber an dem ursprünglichen Punkt ein Loch haben, so können wir die erhaltene Kurve nicht wieder auf den Punkt zusammenziehen (den dieser Punkt exisitert nicht in diesem Raum). 

Ich hoffe ich konnte die Frage beantworten. Ansonsten sag gerne was unklar geblieben ist und wir versuchen weiter dem Ganzen auf die Schliche zu kommen. :)

Grüße Christian

 

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Hallo Christian,
danke für die ausführliche Antwort, das hat mir schon sehr geholfen :) (wie immer genau richtig, da ich die Klausur gleich schreibe). Ich werde nach der Klausur mir das nochmal in Ruhe anschauen und ggf. nachfragen.
  -   wirkungsquantum, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Freut mich zu hören.
Ich wünsche viel Erfolg bei der Klausur :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Hallo,
ich wollte mich nochmal für die hilfreiche Antwort bedanken. Ich hack sie jetzt ab.
  -   wirkungsquantum, kommentiert vor 1 Woche, 5 Tage

Sehr gerne :))   -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 5 Tage
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