Punkt zeichnen und berechnen, der von Gerade g den Abstand 2cm und zugleich Abstand 3cm zur Geraden h hat?


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Also zeichnerisch weiß ich, dass man einfach die Parallelen der Geraden in den angegebenen Abständen zeichnet und dort wo sich die Parallelen schneiden liegt der Punkt... glaube ich. Aber rechnerisch habe ich keine Ahnung.

Bin schon Stunden an dieser Aufgabe und kriege sie einfach nicht gelöst. Könnte mir jemand erläutern wie man auf die Lösung kommt? (Rechenweg und Erklärung wäre nett)

Die Geraden:

g(x) = -0,4x

h(x) = x

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
i
imlop,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Ja soweit gut und genau so machst du auch das andere mit der Rechnung. Du brauchst zunächst alle Punkte mit den geforderten Abständen, also die parallelen Geraden mit dem Abständen 2 und 3.

Fangen wir mit dem Leichten an: das ist h. Zunächst bestimmst du die Normale durch den Ursprung zu der Geraden; das ist die Gerade, die senkrecht auf der Geraden h steht und durch (0|0) geht. Die Steigung der Normalen ist IMMER -1/m also hier -1. Die Normale hat also die Gleichung n(x)=-x. Auf dieser Normalen suchst du jetzt die beiden Punkte die den Abstand 3 vom Ursprung haben. Dafür den Pythagoras anwenden:
x-Abstand^2+y-Abstand^2=Abstand-des-Punktes^2. Also löst du die Gleichung: `9=x^2+(-x)^2` bzw. `9=2*x^2`

`9/2=x^2` bzw. `x_{1}=sqrt(9/2)=3/sqrt(2)` oder `x_{2}=-sqrt(9/2)=-3/sqrt(2)`
Die erste (obere) Parallele zur Geraden h geht also durch den Punkt `(-3/sqrt(2);3/sqrt(2))` und hat logischerweise die Steigung 1.
Es gilt also die Gleichung `y=1*x+b` z.B. für `3/sqrt(2)=1*-3/sqrt(2)+b` und `b=3/sqrt(2)+3/sqrt(2)=6/sqrt(2)`
Deine erste Parallele hat also die Gleichung: `y=x+6/sqrt(2)`
Deine zweite Parallel hat mit dem gleichen Verfahren die Gleichung `y=x-6/sqrt(2)`

Nun gehen wir an die Gerade g. Die Normale ist `n=2.5x`
Der Abstand ist 2, also muss die Gleichung `4=x^2+(2.5x)^2` gelöst werden.
`4=7.25x^2` --> Jetzt hilf der Taschenrechener:
`x_{1}=4/sqrt(29)` oder `x_{2}=-4/sqrt(29)`
Die Punkte dazu sind `(4/sqrt(29)|10/sqrt(29))` und `(-4/sqrt(29)|-10/sqrt(29))`

Jetzt die Gleichungen der parallelen Geraden mit der Steigung m=-0.4 bestimmen: b=y-m*x ; hier also für die obere:

`b=10/sqrt(29)-(-0.4*4/sqrt(29))=2*sqrt(29)/5`
... und für die untere: `-2*sqrt(29)/5`

Nun musst du nur noch die Gleichungen zusammenstellen und dann die Schnittpunkte der Geraden bestimmen.
Zur Kontrolle habe ich ein Bild angefügt, das die ungefähren Ergebnisse zeigen dürfte:

 

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
vt5, verified
Student, Punkte: 3365
 

Ich verstehe. Aber moment. Ginge es auch nicht einfacher und schneller?
Also so.:
-0,4x + 2 = x + 3 | -x
-1,4x + 2 = 3 | -2
-1,4x = 1 | : (-1,4)
x = -5/7

Diese 5/7 dann in einer der beiden Gleichungen oben in diesem Kommentar einsetzen, und daraus folgt dann:
P(-5/7|16/7) und das wäre doch dann der gesuchte Punkt.
  -   imlop, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Du brauchst aber vier Punkte (wenn du alle haben willst), außerdem ist kein Punkt unter denen, die im Bild zu sehen sind, der einen x-Wert von -5/7 hat. Also verstehe ich nicht, was du mir sagen willst...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Ei ganz einfach:Ich kann ja direkt die Parallelverschiebung der Geraden g und h bilden, die die Abstände von 3cm (h(x) = x + 3) und 2cm (g(x) = -0,4x + 2) inbegriff haben. Die Schnittpunkte dieser beiden Geraden ergibt dann genau den Punkt, der sowohl einen Abstand von 2cm von g(x) als auch 3cm von h(x) hat. Ich hab's auch nochmal nachgerechnet. Passt.
  -   imlop, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Sicher, was kommt den raus?   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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