Sinnvoll umschreiben und Ableitung bilden


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gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
C
CenkBakirci,
Punkte: 10
 
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Hallo,

du kannst das Produkt folgendermaßen vereinfachen

\( 2x \cdot \sqrt{x^2 -1} \\ = 2\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2-1} \\ = 2\sqrt{x^2(x^2-1)} \\ = 2\sqrt{x^4-x^2} \)

Die Konstante \( 2 \) kannst du beim ableiten direkt so stehen lassen. Nun musst du also nur noch den Term mit der Wurzel ableiten. Dazu benötigst du die Kettenregel

\( f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

mit \( g(x) = \sqrt{x} \) und \( h(x) = x^4 - x^2 \).

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Vielen Dank! Sehr übersichtlich!   -   CenkBakirci, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Evtl. ist es wichtig, dass diese Umformung nicht für \(x < -1\) gilt.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

Ja da hast du recht. Es gilt ganz formel \( \vert x \vert = \sqrt{x^2} \) und die Funktion ist für \( x \in (-1,1) \) natürlich nicht definiert.
Leider wird dies meistens nicht in der Schule angesprochen und deshalb kam vermutlich auch diese Aufgabenstellung zu Stande. Aber ja das hätte ich dazu schreiben sollen. Danke für die Ergänzung.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen

für `x<-1` muss einfach nur mit -1 multipliziert werden.
Oder man biegt das mit der Vorzeichenfunktion wieder hin.
  -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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Wirklich vereinfachen kannst du den Term nicht. Wende für die \(2\) die Faktorregel an und nutze dann die Produktregel.

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vielen Dank, werde ich so versuchen.   -   CenkBakirci, kommentiert vor 1 Monat, 2 Wochen
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