Kurvendiskussion, Extremwert, Ableitung


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Hallo,

ich soll für nachstehende Funktion die Extremstellen ermitteln y=(ln(x))^{2}+t*ln(x)

Die erste Ableitung müsste dann: y'=(1/x)*(2ln(x)+t) sein.

Dann Null setzten, um die potentielle x-Koordinate auszurechnen, und nach x auflösen. Nur ich weiß nicht ganz wie ich die Gleichung lösen soll

0=(1/x)*(2ln(x)+t)

1=2ln(x)+t      ????????

 

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
y
yvonne97,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Dein Lösung ist vollkommen richtig, so wie ich das sehe. Christian hat sich ein bisschen verrechnet.

Er hat einen Vorzeichenfehler gemacht. Also musst du in `y=-ln(x)^2` nur noch `x=e^(-t/2)`  einsetzten und hast folgendes Ergebnis:

`y=-ln(e^(-t/2))^2=-(-t/2)^2=-t^2/4`

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
vt5, verified
Student, Punkte: 3440
 

Okay, sehr schön :) Danke vt5!!   -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Will hier dann trotz meines Vorzeichenfehlers trotzdem noch anmerken, das nicht \( y = - ln(x)^2 \) gilt.
Es gilt
\( y = \ln(x)^2 + t \cdot \ln(x) = \ln(x)^2 + (-2 \ln(x_0)) \cdot \ln(x) \)
Und erst wenn wir unseren x-Wert ( \( x_0 \) ) einsetzen erhalten wir
\( y_0 = - \ln(x_0)^2 \).

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Ja, schon richtig, das gilt nur für die Stelle, aber ich dachte das wäre schon allen klar, als ich das geschrieben habe...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Jap, danke euch beiden   -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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Hallo,

\( \frac 1 x \cdot (2 \ln(x) + t) = 0 \)

Wir nutzen den Satz vom Nullprodukt. Das heißt ein Produkt wird zu Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Da aber \( \frac 1 x \neq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, muss \( 2 \ln(x) + t = 0 \) gelten

\( 2 \ln(x) + t = 0 \\ \Rightarrow 2 \ln(x) = -t \\ \Rightarrow \ln(x) = - \frac t 2 \\ \Rightarrow x = e^{- \frac t 2} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Ahh okay. Da bei 1/x x=1 wäre, kann nur 2ln(x)+t gleich Null sein. Habe ich verstanden :) Danke!!   -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Sehr gerne. :)
Ich bin mir gerade nicht ganz sicher was du mit \( \frac 1 x , \ x= 1 \) meinst.
Ich würde es in deine Lösung wirklich so schreiben \( \frac 1 x \neq 0 \). Denn egal durch welche Zahl wir die Eins teilen. Es kann niemals die Null heraus kommen.
Eine ähnliche Überlegung habt ihr bestimmt schon aufgestellt beim betrachten von Exponentialfunktionen.
Beispielsweise \( e^x ( x^2 -1) = 0 \ \Rightarrow e^x \neq 0 , \ \Rightarrow x^2 -1 = 0 \)
Denn auch die Exponentialfunktion kann niemals Null sein.

Wenn die Frage für dich geklärt ist schließe sie bitte :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Okay. Blöde Frage, aber wie schließt man die Frage?   -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Bzw. ich hätte doch nochmal eine Rückfrage. Wenn ich e^{-t/2} dann in die Stammfunktion einsetzte um die y-Koordinate zu berechnen. Wie gehe ich da weiter vor?
y=(ln(x))^{2}+t*ln(x)
y=(ln(e^{-t/2}))^{2}+t*ln(e^{-t/2})
?
  -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Es gibt keine dummen Fragen :).
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\( y = ( \ln(e^{- \frac t 2})^2 + t \cdot \ln(e^{- \frac t 2} ) \\ = ( - \frac t 2)^2 + t \cdot (- \frac t 2) \\ = \frac {t^2} 4 - \frac {t^2} 2 \\ = \frac {t^2} 4 + \frac {2 t^2} 4 = \frac 3 4 t^2 \)

Der Logarithmus ist die Umkehrfuntion von der Exponentialfunktion.
Der natürliche Logarithmus ( \( \ln(x) = \log_e (x) \) ) ist der Logarithmus zur Basis \( e \). Es gilt also
\( \ln( e^x) = x \)
oder allgemein
\( \log_a(a^b) = b \)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Habe es raus bekommen, indem ich erst t berechnet habe und dann t in die Stammfunktion eingesetzt habe. Es kommt dann y= -ln(x)^2 raus :)
  -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Was hast du denn für einen Wert von \( t \) erhalten?
Vielleicht magst du deine Rechnung einmal hochladen. Ich glaube da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen (siehe meine allgemeine Lösung).

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

x=e^{-t/2}
t=-2ln(x)

y=(ln(x))^{2}+t*ln(x)
y=(ln(x))^{2}-2ln(x)*ln(x)
y=-ln(x)^2
  -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Ah das Problem an deinem \( t \) ist folgendes.
Wir haben eine mögliche Extremstelle bei \( x_0 = e^{-\frac t 2} \). \( x_0 \) ist aber ein fester Wert und keine Variable mehr (deshalb nenne ich es jetzt hier \( x_0 \)). Du könntest also \( t \) zu \( t = - 2 \ln(x_0) \) umstellen, aber da du nicht genau weißt welchen Wert \( x_0 \) hat bringt dich das nicht wirklich voran.

Deshalb solltest du \( t \) stehen lassen. Du hast hier nämlich ein sogennaten Funktionenschar. Für jedes \( t \) erhälst du eine andere Funktion.
Deshalb sollst du denke ich auch die Lösung in Abhängigkeit von \( t \) haben, da du dann sofort für jede dieser Funktionen durch einsetzen des zugehörigen \( t \)-Wertes den Extremwert erhälst.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Deine Lösung ist aber trotzdem falsch...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Wieso? Wo hab ich den Vorzeichenfehler gemacht?   -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

`t^2/4-t^2/2` aus dem Minus machst du ein Plus...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Okay, da muss ich mal kurz drüber nachdenken   -   yvonne97, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Wow... wollte mir einfach nicht auffalllen.
Danke dir für dein wachsames Auge @vt5.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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