Mengen


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Wenn in einer Menge { 1/2 und 2/4 } stehen ist das die selbe Zahl ( durch kürzen) oder sind es eben zwei unterschiedliche zahlen ?

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
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anonym,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

es ist die selbe Zahl, denn ein Bruch ist in erster Linie erstmal keine Zahl sondern ein Verhältnis.

Teilen wir eine Torte in 4 gleich große Teile und nehmen uns eins, haben wir \( \frac 1 4 \) der Torte gegessen. Wenn wir aber die Torte in 8 gleich große Teile unterteilen und uns davon 2 Stücke nehmen ist das \( \frac 2 8 \) der Torte. 
Nun haben wir aber in beiden Fällen gleich viel von der Torte weggenommen. 

Mathematisch existiert keine allgemeine Definition für Zahlen. Es ist ein Objekt unseres Denkens. Wir werden zum Beispiel niemals die Menge aller Zahlen definieren können. Erst durch das definieren von beispielsweise Zahlenbereichen "entstehen" Zahlen. Zum Beispiel entstehen die natürlichen Zahlen aus dem Konzept des Zählens. 

Um auf deine Frage zurück zu kommen. Beide Verhältnisse \( \frac 1 2 \) und \( \frac 2 4 \) stehen für die selbe Bruchzahl (also die selbe Zahl).

Du kannst dir es auch so vorstellen, das \( 1+3 \) und \( 2 + 2 \) für die selbe Zahl stehen. Denn die Zahl die wir am Ende erhalten ist die Zahl, die aus der Operation Plus resultiert. Und das ist in beiden Fällen die Zahl \( 4 \). Es werden nur in zwei unterschiedlichen Fällen unterschiedliche Zahlen addiert um die selbe Zahl zu erhalten.

Nun will ich aber trotzdem noch auf eine Sache eingehen und zwar das in der Menge 

\( M := \{ \frac 1 2 , \frac 2 4 \} \) 

wir zwar 2x die Zahl \( 0,5 \) haben, aber trotzdem sind sie nicht zwangsläufig das selbe Element der Menge. Zum Beispiel könntest du die Menge aller Brüche definieren die die Zahl \( 0,5 \) ergeben. 

\( B_{0,5} := \{ \frac 1 2 , \frac 2 4 , \frac 3 6 , \ldots \} \)

Wir haben also unendliche viele unterschiedliche Elemente, aber trotzdem steht jede für die Zahl \( 0,5 \).

Grüße Christian

 

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Vielen Dank! Genau das mit den Elementen war unklar .   -   anonym, kommentiert vor 2 Wochen, 1 Tag

Sehr gerne. :)
Das freut mich zu hören

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Wochen, 1 Tag

Moment, da 1/2 dasselbe ist wie 2/4, ist die Menge {1/2, 2/4} dasselbe wie {1/2}!

{1/2} ist die Menge, die 1/2 enthält und sonst nichts enthält; da 1/2 dasselbe ist wie 2/4, enthält die Menge aber „auch“ 2/4 und ist somit dasselbe wie die Menge, die 1/2 und 2/4 enthält und sonst nichts enthält, also dasselbe wie {1/2, 2/4}. Die Aufzählung „1/2, 2/4“ ist schlichtweg redundant, dieselbe Zahl wird zweimal (mit unterschiedlichen Schreibweisen) genannt.

Anders sieht es natürlich aus, wenn nicht die Zahlen 1/2 und 2/4 gemeint sind, sondern die sie bezeichnenden Terme „1/2“ und „2/4“ (Objekt- vs. Metasprache). Ohne Anführungszeichen ist im Normalfall aber von rationalen Zahlen auszugehen.

Noch eine beckmesserische Bemerkung: In LaTeX ist beim Dezimalkomma der Abstand zu unterdrücken, was getan werden kann, indem das Komma in geschweifte Klammern gesetzt wird (also „0{,}5“ statt „0,5“). Die Menge \(\{0,5\}\) ist zweielementig (sie enthält 0 und 5), die Menge \(\{0{,}5\}\) dagegen einelementig (sie enthält 1/2).
  -   ivanp, kommentiert vor 2 Wochen

Deshalb habe ich ja das Beispiel eingeführt das wir eine Menge basteln die alle Brüche enthält die gleich der Zahl \( 0{,}5 \) sind.
In dem Kontext das wir eine Torte nehmen diese in 2 Teile unterteilen und ich mir ein Stück weg nehme und ich die Torte in 4 Teile unterteile und mir 2 wegnehme beschreibe ich einen anderen Kontext. Erst sobald wir das ganze als reine Zahlenmenge definieren ist die Aufzählung redundant!!
Es kommt bei der Menge eben sehr auf den Kontext an.
Deshalb ist \( \frac 1 2 \) nicht zwangsläufig das selbe Element wie \( \frac 2 4 \). Erst wenn es uns um Zahlen geht, denn es sind zwar die selben Zahlen aber nicht die selben Brüche.

Die Bemerkung macht aber Sinn. In einer Menge sieht das wirklich schöner aus. Danke dir.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Wochen

Alles klar, ich denke, wir sind uns einig! Vielleicht habe ich das Wörtchen „zwangsläufig“ überlesen („aber trotzdem sind sie nicht zwangsläufig das selbe Element der Menge“) oder hast du es nachträglich hinzugefügt?

Mir hat nämlich bei der Menge der andere Kontext gefehlt, denn der OP sprach nicht davon, dass wirklich Brüche statt die von ihnen bezeichneten Bruchzahlen gemeint sind, und standardmäßig würde ich von Bruchzahlen ausgehen.

Rationale Zahlen können als Äquivalenzklassen geordneter Paare ganzer Zahlen konstruiert werden. Es gelte \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\Leftrightarrow m_1n_2=m_2n_1\) für alle ganzen Zahlen \(m_1,m_2,n_1,n_2\) mit \(n_1,n_2\neq0\), \(1/2\) sei die \(\sim\)-Äquivalenzklasse von \((1,2)\) und \(2/4\) die \(\sim\)-Äquivalenzklasse von \((2,4)\). Dann gilt \((1,2)\neq(2,4)\), aber \(1/2=2/4\) und somit \(\{(1,2),(2,4)\}\neq\{(1,2)\}\), aber \(\{1/2,2/4\}=\{1/2\}\).

So könnte man es „sauber“ hinschreiben, aber wenn extra dazugesagt wird, dass eine Menge von Termen bzw. Brüchen gemeint ist, ist es natürlich auch okay.
  -   ivanp, kommentiert vor 2 Wochen

Durch deine Ergänzung habe ich meinen Text nochmal überflogen und zwangsläufig hinzugefügt. Ich dachte mir schon das es daher kommt. Hätte ich vielleicht mit einem Edit erwähnen sollen.
Denn es ist absolut richtig was du sagst.
Ich dachte nur ich wäre genug darauf eingegangen das der Kontext entscheident ist und meiner Meinung nach werden \( \frac 1 2 \) und \( \frac 2 4 \) erst zu den selben Elementen, sobald man \( M \subseteq \mathbb{Q} \) (oder anderen Zahlenbereich in denen diese Zahlen vorkommen) setzt. Aber dadurch das ich dies nicht noch extra erwähnt habe sollte das zwangsläufig mindestens dabei sein. :)
Deshalb umso schöner dass die Community mittlerweise so groß ist das solche Erklärungen nochmal überflogen werden.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage
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