Ableitungen E Funktionen


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Hallo, ich bin gerade dabei die Exponentialfunktionen zu lernen und bin im Moment bei den Ableitungsregeln. Die Kettenregel habe ich denk ich verstanden also einfach die Funktion nochmal hinschreiben und davor nochmal die innere Ableitung also die des terms über dem e(Korrigiert mich bitte wenn ich falsch liege). Jetzt steh ich vor der Produktregel und komme nicht so richtig weiter. Kann mir jemand am Beispiel erklären wie ich diese Anwende. Also bei z.B. 3e^x^2 und dann noch bei x^3*e^x^3+x^2. Danke schonmal im Vorraus :)

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
P
PeterEbert,
Punkte: 25
 
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2 Antworten
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"also einfach die Funktion nochmal hinschreiben und davor nochmal die innere Ableitung"

Nein, für e-Funktionen gilt: \(\left [e^{f(x)} \right]' =e^{f(x)} \cdot f'(x)\)
Bspw: \(\left [e^{3x^2+2x} \right]' =e^{3x^2+2x} \cdot (6x+2)\)


"3e^x^2"

Wo liegt hier das Problem mit der Produktregel? Die 3 als konstanten Vorfaktor kannst du vor die Ableitung ziehen.

\(\left [3e^{x^2}\right]' = 3\cdot \left[e^{x^2}\right]' = 3 \cdot e^{x^2} \cdot \left [x^2\right]' = 3e^{x^2}\cdot 2x = 6x\cdot e^{x^2}\)


"x^3*e^x^3+x^2"

Die \(x^2\) kannst mit der Summenregel einzeln ableiten und später zum linken Term dazu addieren.

Bei der Produktregel gilt:

\(\left[f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

Hier ist \(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2\) und \(g(x)=e^{x^3} \Rightarrow g'(x)=3x^2 \cdot e^{x^3}\)

Also lautet die Ableitung
\(3x^2 \cdot e^{x^3} + x^3 \cdot  3x^2 \cdot e^{x^3} \; \color{green}{+ 2x} = e^{x^3} (3 x^5 + 3 x^2) +2x\).

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Danke für die Antwort ich werde mich da reinfuchsen und ist die Kettenregel die ich geschrieben hab nicht genau das was du geschrieben hast nur dass ich meinte die Ableitung von dem oberen Term vor das e ?   -   PeterEbert, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Ach, so hast du das gemeint. Ich dachte du wolltest in der Ableitung zweimal die e-Funktion hinschreiben.
Genau, die Ableitung der E-Funktion ist die E-Funktion selbst multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Alles klar, dankeschön.   -   PeterEbert, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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Hallo,

Also beim ersten Beispiel brauchst du die Kettenregel. Da haben wir 3*e^x² als Funktion. 
Für die Innere Ableitung musst du x² ableiten, also ist diese 2x.
Die äußere Ableitung von e^x² ist e^x².
Da die gesamt Ableitung Äußere mal Innere Ableitung ist bekommst du:
3*2x*e^x² 
Das kannst du zusammenfassen zu 6x*e^x².

Beim zweiten Beispiel ist die Funktion x³*e^x³ +x² gegeben.
Beim ersten Term (der Links vom Plus) Brauchst du die Produkt regel und beim e^x³ die Kettenregel zusätlich.
Bei der Produktregel hast du: Ableitung von Faktor 1 * Faktor 2 + Faktor 1 * Ableitung von Faktor 2. 
Bei der Ableitung von Faktor 2 musst du aber auch die Kettenregel anwenden.
Ableitung von Faktor 1 wäre dann: 3x²
Ableitung von Faktor 2: 3x² (innere Ableitung) * e^x³ (äußere Ableitung)
Somit erhältst du als Gesamtableitung: 3x²*e^x³+x³*3x²*e^x³+2x (2x ist die Ableitung von x²)
Das kannst du dann noch durch herausheben von x und e^x³ auf folgende schreibweise bringen:

x*(e^x³*(3x+3x^4)+2)

Ich hoffe, ich konnte die weiterhelfen!

LG

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
p
philipp#30,
Student, Punkte: 0
 

Auch an dich vielen Dank!   -   PeterEbert, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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