Kann mir jmd helfen? Versteh‘ die Aufgabe nicht so ganz. Wie erstelle ich hierfür die Funktion? Danke im Voraus


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gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
a
anonym,
Schüler, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Ich nehme mal an, es soll eine Exponentialfunktion gefunden werden.

Diese hat die Form \(N(t) = N(0)\cdot k^t\), wobei \(N(0)\) den Bestand zum Anfangszeitpunkt, \(k\) den Wachstumsfaktor, und \(N(t)\) den Bestand (hier in cm\(^2\)) nach \(t\)-Zeiteinheiten (hier Stunden) angeben.

Da wir wissen, dass zu Anfang ca. 1cm\(^2\) bedeckt ist, lautet \(N(0) = 1\). 

Wenn sich der Bestand halbstündlich verdoppeln soll, so muss also für \(N(0) = 1\) und \(N(0.5) = 2\) gelten.
Setzt man dies ein, so lässt sich der Wachstumsfaktor bestimmen.

\(2=1\cdot k^{0.5} \Leftrightarrow 4=k\). Somit lautet die Funktion \(N(t)=1\cdot 4^t = 4^t\). 

Nun kannst du die jeweilige Fläche berechnen, indem du für \(t\) die passende Zeit einsetzt.

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12546
 

Danke sehr!   -   anonym, kommentiert vor 2 Wochen, 1 Tag
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Hallo anonym,

Du kannst auch so vorgehen, dass Du Dir zuerst eine Wertetabelle erstellst, wie sie in Tabelle 1 gezeigt ist.

Tabelle 1: Die Wertetabelle
\(
\begin{array}{c|c}
\textrm{Zeit in Stunden} & \textrm{Fläche in cm}^2\\
\hline
0,0 & 1\\
0,5 & 2\\
1,0 & 4\\
1,5 & \cdots\\
2,0\\
2,5\\
3,0\\
3,5\\
4,0\\
4,5\\
5,0
\end{array}
\)

Wenn du die Zeit in Stunden mit \(x\) und die Flache in cm² mit \(y\) bezeichnest, kannst Du Dir überlegen, welche Funktionsgleichung Deine aufgestellte Wertetabelle »produzieren« würde. Wenn Du eine Verdopplungszeit von 1 Stunde hättest, dann wäre Deine Funktionsgleichung \(y=2^x\). Da die Verdopplungszeit aber eine halbe Stunde ist, muss im Exponenten nicht x, sondern 2x stehen. Du hast also Gleichung (1).

$$y=2^{2x} \tag{1}$$

Das ist nun, wie Du hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D2%5E%282x%29

sehen kannst, identisch mit Gleichung (2). Das ist das, was maccharoni_konstante gepostet hat.

$$y=4^x \tag{2}$$

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1145
 

Die Identität der beiden Funktionsgleichungen sagt eigentlich nur, dass eine Verdopplung pro halber Stunde gleich einer Vervierfachung pro Stunde ist.

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 2 Wochen, 1 Tag
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