Eine Polynomfunktion n-ten Grades


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Hi, habe einen Merksatz da steht:

 

Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat die Gestalt:

\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0 \)

Merke: Eine Funtkion n-ten Grades hat maximal n Nulstellen!

 

Was bedeutet das??? Was ist den eine Funktion n-ten Grades und was meint man mit eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen?

 

gefragt vor 2 Wochen
m
mathenoob00,
Schüler, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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"Was ist den eine Funktion n-ten Grades"
Siehe meine letzte Antwort.

"Eine Funtkion n-ten Grades hat maximal n Nulstellen!"

In \(\mathbb{R}\) hat ein Polynom nicht immer genau, sondern maximal so viele Nullstellen wie sein Grad. Sprich eine Parabel max. 2 NS, eine kubische Funktion max. 3, usw.

Da man eine ganzrationale Funktion in seine Linearfaktoren zerlegen kann, kann man die einzelnen Nullstellen vom Polynom ablösen.

Bspw. hat die Funktion \(y=x^2-4\) die zwei Nullstellen \(x_1=-2,\, x_2=2\). Somit lässt sich die Funktion auch als \(x^2-4 = (x+2)(x-2)\) darstellen. Kennt man nur eine, so wäre bspw. auch \(x^3+3x^2-4 =(x-1)(x^2+4x+4)\) eine Darstellung.

Bzw. allgemeiner ausgedrückt: \(p(x)= a_n(x-n_1)(x-n_2)(x-n_3)\cdot \, ...\, (x-n_N)\) mit jeweils den Nullstellen \(n_k\).

Aus dieser Darstellung lässt sich folgern, dass es auch maximal N Nullstellen geben kann (siehe Satz vom Nullprodukt).

geantwortet vor 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12571
 

Achso danke, jetzt habe ich es verstanden, also wenn ich z.B habe \( f(x)=x^9+x^8+x^3+x^4 \) Kann ich maximal 9 Nullstellen haben, da bei der Funktion die höchste Hochzahl vond er Funktion die 9 ist, also mann kan soviele Nullstellen haben, wie die höchste Hochzahl bei den Funktionen. Zum Beispiel \( f(x)=x^8+x^3+x^4+x^2+x^7 \) also heißt es ich kann bei der FUnktion maximal 8 Nullstellen haben oder?   -   mathenoob00, kommentiert vor 2 Wochen

"also mann kan soviele Nullstellen haben, wie die höchste Hochzahl bei den Funktionen"
Genau, man kann, muss es aber nicht zwingend.

"also heißt es ich kann bei der FUnktion maximal 8 Nullstellen haben oder?"
Höchste Potenz -> 8; also kann es max. 8 Nullstellen geben.

Diese müssen i.Ü. auch nicht verschieden sein. \(y=x^2 \) hat an der Stelle \(x=0\) eine doppelte Nullstelle.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Wochen

Danke vielen Dank, aber es muss auch nicht heißen, dass eine Funktion so viele Nullstellen hat oder? Also es ist maximal möglich, wenn ich z.B eine Funktion habe die x^8 enthält und das wäre die höchste Hochzahl bei der Funktion von den x muss es nicht unbedingt heißen, dass die Funktion auch 8 Nullstellen hat oder es heißt nur, dass es dann maximal 8 haben kann oder?   -   mathenoob00, kommentiert vor 2 Wochen

Maximal n Nullstellen heißt, dass 0 oder 1 oder 2 oder ... oder n denkbar sind.
\(y=x^2+1\) besitzt keine Nullstellen, könnte als quad. Funktion theoretisch zwei besitzen.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Wochen

Danke alles kapiert vielen Dank   -   mathenoob00, kommentiert vor 2 Wochen
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