Laufzeit eines Darlehens


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Ein Darlehen: 150.000 Euro wird von 1.1.2018 an annuitätisch jährlich nachschüssig getilgt (Zins: 7,6% p.a, Tilgung: 4.2% zzgl ersparter Zinsen). Wie ermittle ich die Laufzeit des Darlehens?

 

gefragt vor 2 Wochen
p
 
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1 Antwort
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Also ich bin leider mit den "Fachbegriffen" nicht so genau vertraut, aber mache es jetzt mal so, wie ich das denke, weil es für mich eine gute Übung ist:
Bitte das nächste mal aber auf jeden Fall zumindest Ansätze angeben, denn du sollst es ja später auch alleine machen können und auf neue Lösungen kommen...

S(t) bezeichnet die Restschulden in € nach t Jahren.
150.000=S(0) mit jährlicher Tilgung von 4.2% zzgl. ersparter Zinsen. Die erste (und danach immer konstant bleibende) Zahlung von ist (150000€*0.076+150000€*0.042=) 17700 [€] --> Annuitätendarlehen!

Aufstellen einer Gleichung:
`S(t)=(((150000*1.076-17700)*1.076-17700)*1.076-17700)*...` Gesucht ist S(t)=0
Das kann jetzt mit einem Tabellenkalkulationsprogramm gut modelliert werden, ODER

Man versucht mathematisch an das Ganze heranzugehen: q=1+Zinssatz ; B=Schuldenhöhe zu Beginn=S(0) ; A=Abzahlungsrate im Monat
`S(1)=B*q-R`
`S(2)=S(1)*q-R=(B*q-R)*q-R=B*q^2-Rq-R=B*q^2-(Rq+R)`
`S(3)=S(2)*q-R=((B*q-R)*q-R)*q-R=(B*q^2-Rq-R)*q-R=B*q^3-Rq^2-Rq-R=B*q^3-(Rq^2+Rq+R)`

Verallgemeinern wir dies nun (ohne Beweis, weil du das wahrscheinlich nicht brauchst)

`S(t)=B*q^t-(R*q^(t-1)+R*q^(t-2)+...+R*q+R)`
`S(t)=B*q^t-sum_{i=0}^{t-1}(R*q^i)`

Glaube mir jetzt einfach, dass die Summe vereinfacht werden kann zu `R*(q^t-1)/(q-1)` - oder versuche mal selbst darüber nachzudenken, wenn es dir Spaß macht...
Also haben wir schon:

`S(t)=B*q^t-R*(q^t-1)/(q-1)`

In unserem Fall also:

`S(t)=150000*1.076^t-17700*(1.076^t-1)/(0.076)`

Gesucht ist S(t)=0
`0=150000*1.076^t-17700*(1.076^t-1)/(0.076)` |`+17700*(1.076^t-1)/(0.076)`
`17700*(1.076^t-1)/(0.076)=150000*1.076^t` |*0.076 |:17700
`1.076^t-1=0.644068*1.076^t` `|+1 |-0.644068*1.076^t`
`0.355932*1.076^t=1` |:0.255932
`1.076^t=2.80952` | Logarithmus anwenden
`ln(1.076)*t=ln(2.80952)` |:ln(1.076)
`t=ln(2.80952)/ln(1.076)=14.1`

Da aber nur jedes Jahr getilgt wird, muss 14.1 auf die nächste Natürliche Zahl erhöht werden und die Tilgung dauert insgesamt 15 Jahre.

Wenn noch Fragen sind gerne melden, ansonsten bitte die Antwor (mit dem Häckchen neben der Bewertungsmöglichkeit) akzeptieren.

geantwortet vor 2 Wochen
vt5, verified
Student, Punkte: 3105
 

Vielen vielen Dank 👌🏼   -   patrickchitsu@gmail.com, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Dann die Antwort bitte auch akzeptieren...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage

Sorry, die Darstellung auf meinem Handy hatte die Option "Antwort akzeptieren" nicht angezeigt aber jetzt über den PC hat es funktioniert.   -   patrickchitsu@gmail.com, kommentiert vor 1 Woche, 6 Tage
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