Lineare Algebra, Mengen, Gruppen: Bilde ich das Inverse richtig?


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Hallo liebe Forenmitglieder,

ich bearbeite die obere Aufgabe und bin mir etwas unschlüssig, ob diese Abbildung die Kriterien einer Gruppe erfüllt.

- Gibt es ein neutrales Element? -> Ja, im Falle der Multiplikation die 1.
- Ist die Abbildung assoziativ?  -> Auch da bin ich der Meinung, dass das der Fall ist.
- Gibt es ein Inverses?

Genau das ist der Punkt, in dem ich mir unsicher bin. Ich würde sagen, dass das Inverse einfach \(\frac{1}{a + b\sqrt{2}}\) wäre. 
Meine Frage ist, ob das ein zulässiges Inverses ist, oder ob ich die zwei Variablen a und b nicht auf diese Art und Weise zu einem Inversen machen darf.

Vielen lieben Dank!

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
mpiegza,
Student, Punkte: 20
 
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2 Antworten
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Hallo,

du musst zuerst zeigen, das \( \frac 1 {a+b \cdot \sqrt{2}} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) ist.

Dafür kannst du dich einem Trick bedienen den man vielleicht von den komplexen Zahlen kennt. Wir erweitern den Bruch mit \( a- b \cdot \sqrt{2} \)

\( \Rightarrow \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {(a+b \cdot \sqrt{2}) \cdot (a-b \cdot \sqrt{2})} \\ = \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {a^2 - 2b^2} \\ = \frac {a} {a^2 - 2b^2} + \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \cdot \sqrt{2} \)

Nun gilt es zu zeigen, das \( \frac {a} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) und \( \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) liegt. 

Überlege dir nun wie die rationalen Zahlen definiert sind und setze die Definition ein. Bedenke dabei, das bei der Division rationaler Zahlen immer wieder eine rationale Zahl heraus kommt. 

Wenn du das gezeigt hast, müsstest du noch zeigen das dies wirklich für alle \( a,b \in \mathbb{Q} \) gilt. Dabei gehst du so vor wie vt5 es bereits beschrieben hat. 
Um den Fall \( a=b=0 \) musst du dir dabei keine Gedanken machen, da du das Paar \( ( \mathbb{Q}[\sqrt{2}]-\{0\}, \cdot ) \) auf die Gruppeneigenschaften hin untersuchst. Die Null ist also ausgeschlossen. 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Vielen Dank! Deine Erklärungen haben sehr viel zu meinem Verständnis beigetragen. Meine Kommilitonen und ich sind dann zu dem Schluss gekommen, dass die Bedingung des neutralen Elements verletzt ist, weil wir 1 nicht als Element von Q[Wurzel2] darstellen können, ohne, dass a und b zu einem Element der reellen Zahlen werden.

Wir haben 1 = a+b\(\sqrt{2}\) gesetzt. Umgeformt wäre a = 1 - b\(\sqrt{2}\) und b = \(\frac{1-a}{\sqrt{2}}\)

Da \(\sqrt{2}\) nicht Element von Q ist und sich für a und b nicht herauskürzen lässt, ohne, dass a oder b selbst reell werden, gehen wir davon aus, dass das neutrale Element 1 nicht in Q[\(\sqrt{2}\)] - {0} darstellbar ist.

Auf die Ausführungen zum neutralen Element sind wir erst durch die Diskussion des Inversen gekommen. Daher vielen Dank. Ich hoffe, wir haben alles richtig verstanden!
  -   mpiegza, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

was ist mit a=1 und b=0 ??? Darf nicht a oder b trotzdem 0 sein (nur eben nicht a und b geleichzeitig)?   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Stimmt, guter Einwand, das habe ich gar nicht bedacht... Denn nur wenn a und b gleichzeitig 0 wird, wird der Term auch tatsächlich 0. Ich ging fest davon aus, dass weder a noch b 0 sein dürfen, aber das würde der Definition nicht widerstreiten. Denke ich   -   mpiegza, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage

Ja genau. Der einzige Fall der nicht vorkommen darf ist \( a=b=0 \), also wenn beide gleich Null sind.
Somit erhalten wir das neutrale Element durch \( a=1 \) und \( b=0 \) wie vt5 richtig sagt.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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Mit Gruppen kenne ich mich (formal) nicht so gut aus. Dennoch versuche ich es mal:

Also du willst mit dem Inversen sagen, dass `(a+b*sqrt(2))*1/(a+b*sqrt(2))=1` (also das neutrale Element) ist. Das gilt aber nur wenn `a+b*sqrt(2) ne 0` bzw. `a ne -b*sqrt(2)` ist. Da aber a und b Element der rationalen Zahlen sein sollen, kann der problematische Fall nicht eintreten außer wenn a=0 und b=0, dann könntest du kein Inverses angeben. Aber sonst sehe ich keine Probleme, die auftreten könnten.

Also wie gesagt, ob das formal korrekt ist, weiß ich nicht, aber vielleicht konnte ich dir ja trotzdem weiterhelfen...

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
vt5, verified
Student, Punkte: 3075
 

Vielen lieben Dank. :) Es hat mir auf jeden Fall weitergeholfen!   -   mpiegza, kommentiert vor 1 Woche, 4 Tage
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