Stammfunktion nachdifferenzieren


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Hallo,

Ich will folgende Funktion aufleiten:

Da es eine verkettete Funktion ist muss ich, nachdem ich die äußere Funktion aufgeleitet habe ja noch mit der äußeren nachdifferenzieren.

Mir ist allerdings nicht ersichtlich, warum hier mit-4 nachdifferenziert wird. Wäre nett wenn mir,das jemand erklären könnte.

 

Grüße Manuel

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
m
manuel_h,
Schüler, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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\(\displaystyle\int -\sin \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\, dx = -\displaystyle\int \sin \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\, dx\)

Nun bietet es sich an, das Argument des Sinus zu substituieren.

\(u=\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4} \Rightarrow du=-\dfrac{dx}{4} \Leftrightarrow dx = -4\, du\)

Somit ergibt sich \(-\displaystyle\int 4 \sin( u) \, du =4 \displaystyle\int \sin (u) \, du = 4(-\cos u)+C\)

Nach der Rücksubstitution erhält man \(F(x)=4\left(-\cos \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) \right) +C = -4 \cos \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) +C\).

Das ist auch logisch, denn wenn ich \(\cos \left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\) ableiten würde, ergäbe das \(-\sin\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4}\sin\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\), weshalb noch mit \(\dfrac{1}{4}\cdot x = -1 \Leftrightarrow x=-4\) multipliziert werden muss.

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
m
maccheroni_konstante, verified
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Vielen Dank für die ausführliche Lösung   -   manuel_h, kommentiert vor 1 Woche, 5 Tage
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