Messungenauigkeit über totales Differential berechnen


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Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und habe nicht mal den geringsten Ansatz gefunden. Ich hoffe es kann mir jemand helfen. (was ein totales Differential ist etc. hat sich in den Videos von Daniel Jung geklärt, aber den Zusammenhang kann ich hier leider nicht nachvollziehen)

Die abhängige Größe T(l,g) wird durch eine Messung von l und g bestimmt.

T(l,g) =  

Berechnen Sie die Messungenauigkeit der Größe T über das totale Differential für die Messwerte:

l= (1,0 +/- 0,1) m und g= (10,00 +/- 0,25) m/s^2

 

Hoffe es findet sich jemand, der mir weiterhelfen kann, 

vielen dank

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
l
leon,
Student, Punkte: 15
 

Mir würde hierzu die Gaußische Fehlerfortpflanzung dazu einfallen.   -   timpy1995, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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2 Antworten
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Ok bevor du jetzt weitermachst, mit einer Sache die du noch nicht ganz zu verstehen scheinst: Hier mal die Herangehensweise, die man aus der Schule kennen sollte (ohne totales Differenzial). Ich musste sowas (zufälligerweise genau für diese Aufgabe) im Abitur in Physik machen...


Gegeben ist: `T(l,g)=2pi*sqrt(l/g)` (Ideales Pendel)


l=1,0m und g=10m/s^2 --> Damit bestimmt sich T rechnerisch zu: `T(1.0m,10m/s^2)=1.98692...s` ; man hat jedoch nicht wirklich so genau l und g messen/bestimmen können, also ist dieser Wert unsicher...


Jetzt will man wissen, wo die tatsächliche Periodenlänge liegen könnte (wenn man die Messabweichungen als Extremum annimmt, also tatsächlich der "Worst-Case" eintritt).


Wie kann also T maximal bzw. minimal lang werden: 


Offensichtlich wird T maximal, wenn der Bruch `l/g` maximal wird, das ist der Fall, wenn l maximal und g minimal ist! Also l maximal (1+0.1)m und g minimal (10-0.25)m/s^2.


Damit ergibt sich T maximal zu T=2.11044...s


Offensichtlich wird T minimal, wenn `l/g` minimal ist, was der Fall ist, wenn l minimal und g maximal ist! Also l minimal (1-0.1)m und g maximal (10+0.25)m/s^2.


Damit ergibt sich T minimal zu T=1.86183...s


Nochmal zur Erinnerung, wir geben T mit ca. 1.99s an. Die Abweichung zum Maximum sind +0.1235s und zum Minimum -0.1251s. das ist jetzt der absolute Fehler. In Prozent sind das ca. 6.2% bzw. 6.3% maximaler Fehler. Das dies jedoch tatsächlich so "falsch" ist, ist recht unwahrscheinlich! 


Weil diese Überlegungen bei komplizierten Formeln, aber (für den faulen Endanwender) zu anstrengend sind, möchte man jetzt einen anderen (näherungsweisen) Weg bestreiten.


Ein manchmal auch noch in der Schule verwendeter Weg ist, zunächst die prozentualen Fehler zu bestimmen hier für die Länge 10% (da 0.1m von 1m) und für die Gewichtskraft 2.5% (da 0.25m/s^2 von 10m/s^2). Diese addiert man nun (da eine Punktrechnung vorliegt) und erhält 12.5% Fehler. Da aber mit einer Wurzel gerechnet wird, muss korrigiert werden über Fehler=`sqrt(1.125)`= ca. 1.061. Der maximale Fehler sind also etwa 6% (was auch gerade von uns gefunden wurde).


Der jetzt für dich neue Weg (totales Differenzial), überlegt sich, dass die Abweichungen um den Messwert nun eigentlich klein sind und hier unterschieden werden können. Zunächst ist dies der Fehler der durch den "Längefehler" zustande kommt (also Delta l=0.1m) und ebenso der "Gewichtskraftfehler" (Delta g=0.25m/s^2). Diese beiden Fehler müssen später aufaddiert werden. Ich bleibe bei den Basics:


Versuche dazu dieses Video zu verstehen: 


https://www.youtube.com/watch?v=HWJwLBhdw_o


Das ist erstmal das totale Differenzial (ohne Gauß, keine Sorge, das macht ihr eh im Studium (fast) sicher nochmal alles). Nun kannst du dir die Funktion für die Periodendauer als dreidimensionale Funktion vorstellen, l ist die x-Koordinate, g die y-Koordinate und, T die z-Koordinate. (Lass dich von meiner Funktion nicht abschrecken, sie sorgt nur dafür, dass die Funktion nur für x-Werte zwischen 0.9 und 1.1 sowie y-Werte von 9.75 bis 10.25 betrachtet wird.)



Eigentlich ist die Fläche etwa ein Rechteck, die Ecken wurden leider in der Darstellung abgeschnitten. 


Wie du hoffentlich siehst, handelt es sich fast um eine Ebene. Der Punkt A ist die Periodendauer für l=1m und g=10m/s^2. Das totale Differential kann jetzt bildlich als Steigung der Tangentialebene in x- und y-Richtung an der Punkt A verstanden werden (wie die Tangente an eine "normale" Funktion). Bewegst du dich also von A weg (auf der Tangentialebene, die in guter Näherung die dargestllte Funktion wiedergibt) weicht dein neuer z-Wert (also die Periodendauer) um Delta z = Delta x (Längenfehler) * Steigung in x-Richtung + Delta y (g-Fehler) * Steigung in y-Richtung vom z-Wert von A ab. Die Maximalen Fehler sind nun (wie du hoffentlich siehst) in zwei der vier Ecken zu finden (das ist auch immer so, denke ich!)


Die Steigung in x-Richtung und y-Richtung hast du durch deine Ableitungen bereits bestimmt (für g=10 und l=1 in Punkt a): ist sie in x-Richtung `pi*sqrt(10)/10` also ca. 9.9346 und in y-Richtung `-pi*sqrt(10)/100` also ca. -0.0993. Jetzt setzt du "die Ecken" ein in (`T_{F}` - das klein F bedeutet hier Fehler): 


`T_{F}=pi*sqrt(10)/10*l_{F}+(-pi*sqrt(10)/100)*g_{F}` (An Minus * Minus = Plus denken)


`T_{F}=pi*sqrt(10)/10*(0.1)+(-pi*sqrt(10)/100)*(-0.25)=pi*sqrt(10)/80=0.124182...`


Die Einheit ist selbstverständlich wieder Sekunden


Zur Erinnerung: Vorhin hatten wir gefunden - maximaler Fehler: +0.1235s oder -0.1251s (hier der Mittelwert: 0.1243s)


Jetzt haben wir: maximaler Fehler 0.1242s - was sehr gut an dieses Ergebnis herankommt.


Wie du siehts, ist das totale Differenzial also eine sehr gute Näherung.


So, das war jetzt auch eine gute Wiederholung für mich...


Zuletzt noch ein Kommentar: Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung ist noch etwas leichter zu handhaben, weil nun durch die Quadrierung nicht mehr auf die Vorzeichen geachtet werden muss: Es ist also egal in welche der vier Ecken man geht (man kann auch die zwei "falschen" nehmen und erhält das richtige Ergebnis).


Zudem ist sie in der Praxis (soweit ich weiß) etwas realistischer, da sie Abweichungen "gewichtet".


Dabei musst du (Vorzeichen jetzt egal, also hätte sich dein Fehler bei den Ableitungen hier auch gar nicht ausgewirkt!) berechnen:


`sqrt((pi*sqrt(10)/10*0.1)^2+(pi*sqrt(10)/100*0.25)^2)=0.1024` Die Einheit ist wieder Sekunden. Wenn man will, kann auch hiermit eine realtiver Fehler bestimmt werden.


Ich hoffe ich konnte dir damit erstaml gut weiterhelfen, sodass du zumindest die Grundlagen verstehst...


 

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
vt5, verified
Student, Punkte: 3490
 

Sorry, kann nicht editieren 9.9346 soll natürlich 0.99346 heißen. Auch ein paar Rechtschreibfehler   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Das mit den 2 Ecken gilt aber nur, wenn die Abweichungen symmetrisch sind (also in der Messwert genau in der Mitte zwischen ihnen liegt)   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Hi vt5,
also erstmal vielen vielen Dank. Da hast du mich jetzt ein ganzes Stück voran gebracht. Und vor allem auch danke für deine Zeit, so ausführlich zu antworten, muss ja ewig gedauert haben!
Ich setzte mich heute Abend und morgen nochmal dran und versuche die Aufgabe zu lösen, gebe dann Bescheid ob alles geklappt hat.
Nochmals danke dir!
Liebe Grüße Leon
  -   leon, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche
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Ich würde es ebenfalls mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung lösen.


Dazu musst du zunächst einmal nach l und g ableiten.


l und g sind in diesem Fall wie x und y in der unteren Formel.


Delta x und Delta y sind die Messunsicherheiten.


geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
B
Ben,
Punkte: 0
 

hi ben, erstmal danke euch beiden. Die Ableitung habe ich, wie gehe ich nun weiter vor?   -   leon, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Nun einfach die entsprechenden Sachen einsetzen und ausrechnen …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Was hast du denn für die Ableitungen, damit wir schonmal sicher gehen können, dass du auf dem richtigen weg bist...   -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle.. habe Mathe erst im nächsten Semester, aber wollte mich schonmal in die Themen einarbeiten.
Mein Ableitungen wären jetzt f'(l)=π/g×√(l/g) und f'(g)=π l/√(l/g)*g^2.
Für euch ist es sicherlich sehr einfach, jedoch leider nicht für mich, trotzdem danke für die Hilfe
  -   leon, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Wenn du nach g ableitest, muss noch ein Minus davor geschrieben werden, sonst schon gut.
Ein Tipp noch: schreibe deine Formeln mit ` davor und danach. Siehe hier:
https://fragen.letsrockmathe.de/question/9329/eine-vielleicht-einfachere-eingabemoglichkeit-fur-anfanger/
Weißt du was Delta g und Delta l sind?
  -   vt5, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

oh danke, das hatte ich übersehen und auch für deinen Tipp, hoffe es klappt beim nächsten Mal :)
Das ist die Differenz zweier Werte oder? Ich habe ja in der Aufgabe auch jeweils zwei Werte für g und l, aber ich kann diese doch nicht einfach von einander abziehen, das erscheint mir zu einfach
  -   leon, kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche


hi vt5,ich habe noch einen AddOn: Wenn jetzt nicht nach der Messungenauigkeit gefragt ist, dann fällt der Schritt mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung weg oder?Anders gefragt, wann weiß ich, ob ich die Fehlerfortpflanzung benötige?
Des Weiteren; ist der Wert 0,1024 unser maximale Fehler ?
  -   leon, kommentiert vor 1 Monat, 3 Wochen
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